Легкие(для кого-то) задачи

[gris]

Шутки шутками, но я бы внёс в стандартный список правил дифференцирования наряду с
$(Cf)' = Cf'$ и такое правило:

$(\frac {f} {C})' =\frac {f'} {C}$

Ибо каждый второй студент начинает дифференцировать как дробь.

Хотя, оговорюсь, это не ошибка. И результат должен быть таким же, но вот обычно не получается.

[Brukvalub]

Это в кофеварки и пепельницы нужно встраивать защиту "от дурака", а из высшей школы дураков нужно просто гнать.

[AndreyXYZ]

Brukvalub в сообщении #170931 писал(а):

А t кто диф-ть будет? Гоголь?

Извините, ошибся.
$(f^n(t))_x' =nf^{n-1}(t)f_t'(t)t_x'$

[gra]

Cпасибо, AndreyXYZ за помощь, если то, что ниже правильно, буду дальше решать по Вашей подсказке.

\[{\left( {\frac{x} {3}} \right)^\prime } = \frac{{x'}} {3} = \frac{1} {3}\]

[Brukvalub]

Правильно. Решайте по подсказке.

[gra]

Cкажите, вот так правильно?

\[\begin{gathered} {\left( {{{\sin }^2}\frac{x} {3} - ctg\frac{x} {3}} \right)^\prime } = {\left( {{{\sin }^2}\frac{x} {3}} \right)^\prime } - {\left( {ctg\frac{x} {3}} \right)^\prime } = \hfill \\ = 2\sin {\left( {\frac{x} {3}} \right)^\prime } - \left( { - \frac{1} {{{{\sin }^2}}}} \right){\left( {\frac{x} {3}} \right)^\prime } = \hfill \\ = 2\sin \frac{1} {3} + \frac{1} {{{{\sin }^2}x}}\frac{1} {3} \hfill \\ \end{gathered} \]

[gris]

Пока ewert спит, я попробую Вам на словах объяснить, как дифференцировать сложную функцию.
Вот к примеру $(\sin^2 \frac {x} {3})^\prime$. Начинаем с конца. Что мы делаем с икс? Мы его делим на 3. Смотрим правило: деление на константу. Производная от икс делить на три будет $\frac 1 3 $. Запишем.
Дальше идет синус. Производная от синуса - косинус. То, что мы уже продифференцировали, оставляем в прежнем виде. Итак, запишем $\cos \frac x 3$
далее у нас синус возводится в квадрат. Производная от квадрата - два икс. Но так как у нас в квадрат возводится не икс, а синус икс делить на три, то пишем $2\sin\frac x 3$
И наконец перемножаем всё это дело.
$(\sin^2 \frac {x} {3})^\prime = \frac 1 3 \cos \frac x 3 2\sin\frac x 3 = \frac 2 3 \cos \frac x 3 \sin\frac x 3$

Добавлено спустя 11 минут 5 секунд:

Главное, помните, что каждый раз мы дифференцируем что-то одно. То, что уже продифференцировали, оставляем как было, а то, до чего руки не дошли, не трогаем вообще.
$(\ctg \frac {x} {3})^\prime$. Производная от икс делить на три будет $\frac 1 3 $. Запишем.
Дальше идет котангенс. Производная от котангенса - минус один делить на синус квадрат. Аргумент котангенса, то есть $\frac x 3$ оставляем в прежнем виде. Итак, запишем $- \frac {1} {\sin ^2 \frac x 3}$
Больше ничего нет. Перемножаем.
$(\ctg \frac {x} {3})^\prime = - \frac {1} {3\sin ^2 \frac x 3}$
В окончательном ответе минус на минус даст плюс.

[gra]

Эврика!

Gris, Вы мне очень помогли, я пользовалась формулами для сложных функций

\[\begin{gathered} {\left( {\sin u} \right)^\prime } = \cos uu' \hfill \\ {\left( {ctgu} \right)^\prime } = - \frac{1} {{{{\sin }^2}u}}u' \hfill \\ \end{gathered} \]

и подобными, и везде меняла буквенные обозначения, чтобы не запутаться, но все-таки запуталась, сейчас нашла свою ошибку.
А оказывается все гораздо проще!

Спасибо!!