Потерянный корень

[xatkaru]

Проблема в чем: вот есть уравнение $a(x^2-1)=\sqrt(1+\frac{x}{a})$
Его надо решить для произвольного положительного a
Если построить графики, то очевидно, что у него 1 корень при a<1 и 2 корня при a>1
При a<1 находим единственный корень так:
замена $t = \frac{x}{a}$
чуть-чуть преобразовав, имеем $t = a^2 (a^2 t^2 - 1) - 1$
пусть $f(t) = a^2 t^2 - 1$
тогда полученное суть f(f(t)) = t
достоточное условие выполнения этого равенства f(t) = t, то есть $a^2 t^2 - 1 = t$

И он равен $\frac{1+\sqrt(1+4a^2)}{2a}$.
Этот же корень является одним их двух при a>1. Но как найти второй корень, равный $\frac{-1-\sqrt(-3+4a^2)}{2a}$

[bot]

Положим $t=\sqrt{1+\frac{x}{a}} \geq 0$
Отсюда $1+\frac{x}{a} = t^2$ и $1+\frac{t}{a} = x^2$
Вычитанием получаем: $x-t=a(t-x)(t+x)$ с развалом на две возможности:
1) $t=x$
2) $a(t+x)+1=0$
Дальше уже понятно ...

PS. В \sqrt(выражение) надо использовать фигурные скобки, а не круглые - тогда корень распространится на всё выражение.

[незваный гость]

xatkaru писал(а):

имеем $t = a^2 (a^2 t^2 - 1)^2 - 1$
пусть $f(t) = a^2 t^2 - 1$
тогда полученное суть f(f(t)) = t
достоточное условие выполнения этого равенства f(t) = t, то есть $a^2 t^2 - 1 = t$

(курсив мой)

Вы правы, это достаточное условие. Оно позволило найти Вам часть корней уравнения. Чтобы найти остальные, надо вернуться к $t = a^2 (a^2 t^2 - 1)^2 - 1$ (мы ведь ищем его корни, правда), и разделить его на $\prod\limits_j (t - r_j)$, где $r_j$ -- найденные корни (не отбрасывая неподходящие). Фактически Вы вычислите $\frac{f(f(t)) - t}{f(t)-t}$.