Несколько задач по алгебре

[abacaba]

1) Доказать, что многочлен $x^3-x^2+1$ неприводим на \mathbb{F}_3. Обозначим через a вещественный корень этого многочлена. Найти разложение по степенному базису \mathbb{F}_3(a) $b=(a+1)/(a^2-a+1)$.

2) Доказать, что Q(\sqrt{11}+2, 4-\sqrt{3}) - простое расширение Q, найти его порождающий элемент.

3) a - вещественный корень многочлена $x^3+x^2+x-1$, неприводимого в кольце Q[x]. Доказать, что $b=(2a-1)/(a+3)$ алгебраичен над Q. Найти нетривиальный аннулятор.

4) Пусть k1, k2 - подполя K. Доказать, что k1Uk2 подполе K <=> либо k2<=k1, либо k1<=k2

[mkot]

abacaba писал(а):

1) Доказать, что многочлен $x^3-x^2+1$ неприводим на \mathbb{F}_3. Обозначим через a вещественный корень этого многочлена. Найти разложение по степенному базису \mathbb{F}_3(a) $b=(a+1)/(a^2-a+1)$.

Чтобы доказать неприводимость многочлена, просто проверьте, что при подстановке любого $x \in \mathbb{F}_3$ в многочлен не получается ноль.
Для того, чтобы получить разложение по степенному базису обратите элемент $a^2-a+1$ в
поле $\mathbb{F}_3(a)$ и умножьте полученное на $a+1$, затем приведите всё к виду
$xa^2+ya+z$, $x,y,z \in \mathbb{F}_3$, так как $a^2, a, 1$ образует базис (почему?).

[abacaba]

Спасибо.
Может, еще что-нибудь решится?

[mkot]

abacaba писал(а):

Спасибо.
Может, еще что-нибудь решится?

А где ваши идеи?

abacaba писал(а):

2) Доказать, что Q(\sqrt{11}+2, 4-\sqrt{3}) - простое расширение Q, найти его порождающий элемент.

Обозначим:

$$\alpha :=\sqrt{11}+2, \beta := 4-\sqrt{3}$$

.
Для доказательства простоты расширения достаточно воспользоваться тем фактом, что каждое конечное сепарабельное расширение является простым. Нетрудно придумать два квадратных уравнения с рациональными коэффициентами корнями которых будут
$\alpha, \beta$ соответственно. Отсюда легко выводится сепарабельность этих элементов (по определению). Порождающим элементом будет например $\gamma := \sqrt{11}+\sqrt{3}$.
Докажите это сами. Для этого выразите $\alpha, \beta$ через степени $\gamma$.

[Профессор Снэйп]

abacaba писал(а):

4) Пусть k1, k2 - подполя K. Доказать, что k1Uk2 подполе K <=> либо k2<=k1, либо k1<=k2

Предположите, что $K_1 \not\subseteq K_2$ и $K_2 \not\subseteq K_1$. Возьмите пару элементов $x$ и $y$ поля $K_1 \cup K_2$ так, чтобы $x \not\in K_1$, $y \not\in K_2$ и рассмотрите... ну, например, их сумму. Или произведение, если Вам больше нравится умножать, чем складывать

[mkot]

abacaba писал(а):

3) a - вещественный корень многочлена $x^3+x^2+x-1$, неприводимого в кольце Q[x]. Доказать, что $b=(2a-1)/(a+3)$ алгебраичен над Q.

Для доказательства алгебраичности $b$ достаточно воспользоваться двумя утверждениями:
(1) Сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов являются снова алгебраическими элементами.
(2) Если элемент $\alpha$ алгебраичен относительно $\Sigma$, а $\Sigma$ -- алгебраическое расширение поля $\Delta$, то $\alpha$ алгебраичен и над $\Delta$.
Что взять в качестве $\Delta$, $\Sigma$ и $\alpha$ подумайте сами.

Все эти утверждения легко найти в Алгебре ван дер Вардена.

abacaba писал(а):

Найти нетривиальный аннулятор.

Что такое нетривиальный аннулятор?

Добавлено спустя 1 час 7 минут:
К задаче 2.
Так как $\mathrm{char}\, \mathbb{Q} = 0$, то любое алгебраическое расширение является сепарабельным.
То есть верно, что любое конечное алгебраическое расширение является простым алгебраическим расширением.
Таким образом нужно доказать что расширение является конечным и алгебраическим, то есть как раз придумать два квадратных уравнения с рациональными коэффициентами корнями которых будут $\alpha, \beta$ соответственно.