2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О кольцах с единицей и без оной (упоминаются лиевы кольца)
Сообщение22.12.2008, 19:23 


20/11/08
36
Барнаул
1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.
2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп
б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?
3. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ($$R^2=0$$), в котором нет максимальных идеалов.
4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ($$R^2\not= 0$$)($$R^2\not= R$$), в котором нет максимальных идеалов.
5. Пусть R ассоциативное кольца и $$\forall x \in R, xR=R.$$ Докажите что либо R=0,либо R тело.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.
5. Проверить аксиомы тела .
а как строить примеры(2,3,4)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 20:42 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Напишите,как решали и не дорешали!
1.Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный,а что касается наличия собственного макс. идеала,то ее наличие выходит просто из леммы Цорна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 21:03 
Аватара пользователя


14/10/07
241
Киев, мм
"Любое кольцо по определению имеет единицу" -дело определения...Хотя кольца без единиц -это уже религия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Alexiii в сообщении #170078 писал(а):
Любое кольцо по определению имеет единицу


Taras в сообщении #170083 писал(а):
дело определения...Хотя кольца без единиц -это уже религия


Например, лиевы кольца принципиально не имеют единицы (если исключить тривиальный случай кольца, состоящего из одного нуля).

Лиево кольцо - это кольцо, в котором выполняются тождества $a^2=0$ и $(ab)c+(bc)a+(ca)b=0$ (второе тождество называется тождеством Якоби).

Пример лиева кольца - множество векторов в $\mathbb R^3$ с обычным сложением и векторным умножением векторов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 22:29 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Alexiii в сообщении #170078 писал(а):
Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный

Насколько я помню, максимальный идеал по определению не совпадает с самим кольцом, и если он содержится в бОльшем идеале, то этот бОльший идеал и есть кольцо. Так нас учили.

Alexiii в сообщении #170078 писал(а):
немыслимо писать "кольцо с единицей"

Мы на лекциях только так и писали.

Добавлено спустя 2 минуты 18 секунд:

И ещё условие $ 1\not= 0$, т.е. кольцо не состоит из одного элемента.

P.S. По существу помочь не могу :oops:, т.к. алгебра мне кажется очень сложным разделом математики (очень абстрактным).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 00:14 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Ладно,извиняюсь :D ,больше не буду так "обзывать" кольца.
Согласен с Таня Тайс по поводу определения максимального идеала - я погорячился с выводами.

Доказательство наличия же макс. идеала у кольца просто и опирается прямо на лемму Цорна,как и писал.

Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 11:48 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Fsb4000
Напомните, пожалуйста, что означает запись $R^2=0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 19:51 


20/11/08
36
Барнаул
$$R^2=0$$ так в учебнике написано было, подразумевалось наверное что : $$ \exists a,b : a \cdot b = 0 ,a \not =  0, b  \not = 0 $$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2008, 00:18 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Ну, поскольку в 1. пункте Вы доказали, что кольца с единицей всегда имеют макс. идеал, то для пунктов 3, 4 надо искать кольца без единицы.


Someone в сообщении #170107 писал(а):
Пример лиева кольца - множество векторов в $\mathbb{R}^3$ с обычным сложением и векторным умножением векторов.


Может быть, этот пример подходит к пункту 3? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение24.12.2008, 01:02 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Fsb4000 писал(а):
5. Пусть R ассоциативное кольца и $$\forall x \in R, xR=R.$$ Докажите что либо R=0,либо R тело.


Ну, это не очень сложно. Хотя, надо отметить, условие задачи записано некорректно. Там сказано, что $xR = R$ для любого $x \in R$. Однако $0 \in R$ и $0R = 0 \neq R$ при ненулевом $R$. Вероятно, имелось в виду, что $xR = R$ при любом $x \in R$, отличном от нуля.

Пусть $R \neq 0$.

1) Покажем, что в $R$ нет делителей нуля. Предположим, что $xy = 0$ для отличных от нуля $x$ и $y$. Имеем $0 = 0R = (xy)R = x(yR) = xR = R$. Противоречие.

2) Выберем ненулевой $a \in R$. По условию существует $e \in R$, такой что $ae=a$. Зафиксируем этот $e$. Заметим, что $e \neq 0$.

3) Имеем $a(a-ea) = a^2 - a(ea) = a^2 - (ae)a = a^2 - a^2 = 0$. Так как $a \neq 0$, то, по первому пункту, $a-ea=0$ и $ea = a$.

4) Пусть $x$ --- произвольный элемент $R$. Имеем $(xe-x)a = (xe)a - xa = x(ea) - xa = xa - xa = 0$. По первому пункту отсюда заключаем, что $xe-x = 0$ и $x = xe$.

5) В предыдущем пункте мы установили, что $e$ --- правая единица в $R$. По известному факту правая единица является также и левой единицей, то есть просто единицей кольца. Впрочем, для доказательства этого не обязательно ссылаться на "известный факт". Достаточно повторить рассуждения третьего пункта, заменив $a$ на произвольный $x \in R$ и приняв во внимание пункт 4.

6) Так как в $R$ есть единица, то, по условию, для каждого ненулевого $x \in R$ существует $y$, такой что $xy = 1$. То есть каждый ненулевой элемент имеет правый обратный.

7) Пусть $x$ --- произвольный ненулевой элемент $R$ и $y$ --- правый обратный к нему, то есть $xy = 1$. Имеем $1 \cdot y = y = y(xy) = (yx)y$. Значит, $0 = 1 \cdot y - (yx)y = (1 -yx)y$. Поскольку $y \neq 0$ (иначе $1 = xy = 0$), то $1 - yx = 0$ и $yx = 1$. Получается, что правый обратный является также и левым обратным, то есть просто обратным элементом.

8) Всё, задача решена :)

Добавлено спустя 33 минуты 20 секунд:

Fsb4000 писал(а):
3. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ($$R^2=0$$), в котором нет максимальных идеалов.


Берём любую "делимую" абелеву группу, например, $\langle \mathbb{Q}, + \rangle$ и определяем на ней умножение: $x \ast y = 0$. Получится кольцо $\langle \mathbb{Q}, +, \ast \rangle$, которое и будет ответом к задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по алгебре
Сообщение24.12.2008, 04:48 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Fsb4000 писал(а):
2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп


Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.

Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.

Предположите, что $A$ --- делимая группа и $B$ --- максимальная подгруппа в $A$. Рассмотрите

$$
C = \{ x \in A : (\exists n \in \mathbb{N})(nx \in B) \}.
$$

Докажите, что $C$ --- подгруппа в $A$, содержащая $B$. В силу максимальности $B$ возможны только два случая: $C = A$ или $C = B$.

Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае $C = B$ возьмите $x \in A \setminus B$ и докажите, что

$$
D = \{ b + nx : b \in B, n \in \mathbb{Z} \}
$$

есть собственная подгруппа в $A$, содержащая $B$ и не равная $B$. В случае $C = A$ зафиксируйте $x \in A \setminus B$ и $n \in \mathbb{N}$, такие что $nx \in B$ и покажите, что

$$
E = \{ a \in A : na \in B \}
$$

является собственной подгруппой в $A$, содержащей $B$ и не совпадающей с $B$.

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

Fsb4000 писал(а):
б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?


Самый простой пример --- это $\langle \mathbb{Q}, + \rangle$. Ну или $\langle \mathbb{R}, + \rangle$, $\langle \mathbb{C}, + \rangle$ --- что Вам больше нравится.

Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что $A$ --- конечная группа. Докажите, что $na = 0$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$ и всех $a \in A$. Потом возьмите такое $n$ и узрите, что уравнение $nx=b$ неразрешимо при ненулевом $b$.

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Fsb4000 писал(а):
4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ($$R^2\not= 0$$)($$R^2\not= R$$), в котором нет максимальных идеалов.


Возьмите абелеву группу $A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$. Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:

$$
\langle q_1, p_1 \rangle \ast \langle q_2, p_2 \rangle = \langle 0, p_1p_2 \rangle.
$$

Покажите, что для $R = \langle A, +, \ast \rangle$ выполняется всё, что надо.

Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен $\mathbb{Q} \times \{ 0 \}$. Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!

Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:

Fsb4000 писал(а):
1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.


Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"... :(

Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!

Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте :)

Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:

Alexiii писал(а):
Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...


Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!

Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!

Максимальным идеалом кольца, по определению, называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов. Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Alexiii писал(а):
Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.


Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце :)

А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group