О кольцах с единицей и без оной (упоминаются лиевы кольца)

[Fsb4000]

1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.
2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп
б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?
3. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R (

$$R^2=0$$

), в котором нет максимальных идеалов.
4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R (

$$R^2\not= 0$$

)(

$$R^2\not= R$$

), в котором нет максимальных идеалов.
5. Пусть R ассоциативное кольца и

$$\forall x \in R, xR=R.$$

Докажите что либо R=0,либо R тело.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.
5. Проверить аксиомы тела .
а как строить примеры(2,3,4)?

[Alexiii]

Напишите,как решали и не дорешали!
1.Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный,а что касается наличия собственного макс. идеала,то ее наличие выходит просто из леммы Цорна.

[Taras]

"Любое кольцо по определению имеет единицу" -дело определения...Хотя кольца без единиц -это уже религия.

[Someone]

Alexiii в сообщении #170078 писал(а):

Любое кольцо по определению имеет единицу

Taras в сообщении #170083 писал(а):

дело определения...Хотя кольца без единиц -это уже религия

Например, лиевы кольца принципиально не имеют единицы (если исключить тривиальный случай кольца, состоящего из одного нуля).

Лиево кольцо - это кольцо, в котором выполняются тождества $a^2=0$ и $(ab)c+(bc)a+(ca)b=0$ (второе тождество называется тождеством Якоби).

Пример лиева кольца - множество векторов в $\mathbb R^3$ с обычным сложением и векторным умножением векторов.

[Таня Тайс]

Alexiii в сообщении #170078 писал(а):

Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный

Насколько я помню, максимальный идеал по определению не совпадает с самим кольцом, и если он содержится в бОльшем идеале, то этот бОльший идеал и есть кольцо. Так нас учили.

Alexiii в сообщении #170078 писал(а):

немыслимо писать "кольцо с единицей"

Мы на лекциях только так и писали.

Добавлено спустя 2 минуты 18 секунд:

И ещё условие $ 1\not= 0$, т.е. кольцо не состоит из одного элемента.

P.S. По существу помочь не могу , т.к. алгебра мне кажется очень сложным разделом математики (очень абстрактным).

[Alexiii]

Ладно,извиняюсь ,больше не буду так "обзывать" кольца.
Согласен с Таня Тайс по поводу определения максимального идеала - я погорячился с выводами.

Доказательство наличия же макс. идеала у кольца просто и опирается прямо на лемму Цорна,как и писал.

Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.

[Таня Тайс]

Fsb4000
Напомните, пожалуйста, что означает запись $R^2=0$

[Fsb4000]

$$R^2=0$$

так в учебнике написано было, подразумевалось наверное что :

$$ \exists a,b : a \cdot b = 0 ,a \not = 0, b \not = 0 $$

[Таня Тайс]

Ну, поскольку в 1. пункте Вы доказали, что кольца с единицей всегда имеют макс. идеал, то для пунктов 3, 4 надо искать кольца без единицы.

Someone в сообщении #170107 писал(а):

Пример лиева кольца - множество векторов в $\mathbb{R}^3$ с обычным сложением и векторным умножением векторов.

Может быть, этот пример подходит к пункту 3?

[Профессор Снэйп]

Fsb4000 писал(а):

5. Пусть R ассоциативное кольца и

$$\forall x \in R, xR=R.$$

Докажите что либо R=0,либо R тело.

Ну, это не очень сложно. Хотя, надо отметить, условие задачи записано некорректно. Там сказано, что $xR = R$ для любого $x \in R$. Однако $0 \in R$ и $0R = 0 \neq R$ при ненулевом $R$. Вероятно, имелось в виду, что $xR = R$ при любом $x \in R$, отличном от нуля.

Пусть $R \neq 0$.

1) Покажем, что в $R$ нет делителей нуля. Предположим, что $xy = 0$ для отличных от нуля $x$ и $y$. Имеем $0 = 0R = (xy)R = x(yR) = xR = R$. Противоречие.

2) Выберем ненулевой $a \in R$. По условию существует $e \in R$, такой что $ae=a$. Зафиксируем этот $e$. Заметим, что $e \neq 0$.

3) Имеем $a(a-ea) = a^2 - a(ea) = a^2 - (ae)a = a^2 - a^2 = 0$. Так как $a \neq 0$, то, по первому пункту, $a-ea=0$ и $ea = a$.

4) Пусть $x$ --- произвольный элемент $R$. Имеем $(xe-x)a = (xe)a - xa = x(ea) - xa = xa - xa = 0$. По первому пункту отсюда заключаем, что $xe-x = 0$ и $x = xe$.

5) В предыдущем пункте мы установили, что $e$ --- правая единица в $R$. По известному факту правая единица является также и левой единицей, то есть просто единицей кольца. Впрочем, для доказательства этого не обязательно ссылаться на "известный факт". Достаточно повторить рассуждения третьего пункта, заменив $a$ на произвольный $x \in R$ и приняв во внимание пункт 4.

6) Так как в $R$ есть единица, то, по условию, для каждого ненулевого $x \in R$ существует $y$, такой что $xy = 1$. То есть каждый ненулевой элемент имеет правый обратный.

7) Пусть $x$ --- произвольный ненулевой элемент $R$ и $y$ --- правый обратный к нему, то есть $xy = 1$. Имеем $1 \cdot y = y = y(xy) = (yx)y$. Значит, $0 = 1 \cdot y - (yx)y = (1 -yx)y$. Поскольку $y \neq 0$ (иначе $1 = xy = 0$), то $1 - yx = 0$ и $yx = 1$. Получается, что правый обратный является также и левым обратным, то есть просто обратным элементом.

8) Всё, задача решена

Добавлено спустя 33 минуты 20 секунд:

Fsb4000 писал(а):

3. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R (

$$R^2=0$$

), в котором нет максимальных идеалов.

Берём любую "делимую" абелеву группу, например, $\langle \mathbb{Q}, + \rangle$ и определяем на ней умножение: $x \ast y = 0$. Получится кольцо $\langle \mathbb{Q}, +, \ast \rangle$, которое и будет ответом к задаче.

[Профессор Снэйп]

Fsb4000 писал(а):

2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп

Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.

Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.

Предположите, что $A$ --- делимая группа и $B$ --- максимальная подгруппа в $A$. Рассмотрите

$$ C = \{ x \in A : (\exists n \in \mathbb{N})(nx \in B) \}. $$

Докажите, что $C$ --- подгруппа в $A$, содержащая $B$. В силу максимальности $B$ возможны только два случая: $C = A$ или $C = B$.

Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае $C = B$ возьмите $x \in A \setminus B$ и докажите, что

$$ D = \{ b + nx : b \in B, n \in \mathbb{Z} \} $$

есть собственная подгруппа в $A$, содержащая $B$ и не равная $B$. В случае $C = A$ зафиксируйте $x \in A \setminus B$ и $n \in \mathbb{N}$, такие что $nx \in B$ и покажите, что

$$ E = \{ a \in A : na \in B \} $$

является собственной подгруппой в $A$, содержащей $B$ и не совпадающей с $B$.

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

Fsb4000 писал(а):

б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?

Самый простой пример --- это $\langle \mathbb{Q}, + \rangle$. Ну или $\langle \mathbb{R}, + \rangle$, $\langle \mathbb{C}, + \rangle$ --- что Вам больше нравится.

Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что $A$ --- конечная группа. Докажите, что $na = 0$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$ и всех $a \in A$. Потом возьмите такое $n$ и узрите, что уравнение $nx=b$ неразрешимо при ненулевом $b$.

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Fsb4000 писал(а):

4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R (

$$R^2\not= 0$$

)(

$$R^2\not= R$$

), в котором нет максимальных идеалов.

Возьмите абелеву группу $A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$. Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:

$$ \langle q_1, p_1 \rangle \ast \langle q_2, p_2 \rangle = \langle 0, p_1p_2 \rangle. $$

Покажите, что для $R = \langle A, +, \ast \rangle$ выполняется всё, что надо.

Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен $\mathbb{Q} \times \{ 0 \}$. Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!

Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:

Fsb4000 писал(а):

1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.

Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"...

Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!

Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте

Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:

Alexiii писал(а):

Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...

Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!

Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!

Максимальным идеалом кольца, по определению, называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов. Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Alexiii писал(а):

Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.

Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце

А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.