Доказать равномерную непрерывность функции на R

[Gimi]

Помогите пожалуйста разобраться с задачой . Показать что непрерывная, монотонная и ограниченная функция на R является равномерно непрерывной на R. За ранее благодарен

[Хорхе]

Раз функция монотонна и ограничена, то на $\pm\infty$ она имеет пределы.
Вам надо (по определению) доказать, что для всякого $\varepsilon$ найдется $\delta$ и т.д. Возьмите такое $C$, что $|f(C)-f(+\infty)|+|f(-C)-f(-\infty)|<\varepsilon$. Теперь завершите доказательство

[Gimi]

Почему именно такое неравенство нужно доказать для ответа на вопрос задачи?

[id]

Идея в том, что вся прямая разделяется на две части - одну компактную, на которой функция заведомо равномерно непрерывна, и другую - причем значения в этой другой, неограниченной части, несильно отличаются от предельных.

[ewert]

Уже было:

http://dxdy.ru/topic18036.html#165791

(первая задача)

[Someone]

Gimi в сообщении #169598 писал(а):

Почему именно такое неравенство нужно доказать для ответа на вопрос задачи?

Определение равномерно непрерывной на $\mathbb R$ функции можете сформулировать?