Слабая сходимость случайных величин

[Taras]

Помогите пожалуйста с задачей
С.в. $(\xi_n, n\geqslant 1)$-н.о.р. и имеют непрерывную,четную, положительную в окрестности нуля плотность. Доказать слабую сходимось $ n^{-1} \sum\limits_{k=1}^n \xi_{k}^{-1} \to \chi, n \to \infty $, где $\chi$ имеет распределение Коши.
Все похожие вещи доказывались теоремой Леви, но в этом примере никак не могу втулить ее.

[--mS--]

А вырожденное распределение считается за вариант Коши? А то эта последовательность и к вырожденному распределению может сходиться: если, например, плотность $p_{\xi}(x)$ равна нулю в окрестности нуля и распределение $\xi$ ограничено, то у величины $\xi^{-1}$ есть первый момент.

[Taras]

Будем считать, что это обобщенное распределение Коши. Как доказывать в общем случае?

[Хорхе]

Тарас, используйте теорему Гнеденко-Колмогорова (кажись, Карташов ее называет "загальною граничною теоремою"). Если он ее вдруг не давал, почитайте любую из книжек В.В. Петрова с "Колхоза" (раздел "Сходимость к конкретному безгранично делимому распределению").

[Хорхе]

Собственно, зачем искать в книжках Петрова? Даже если Карташов вам эту теорему не давал, она есть в его учебнике.

[Taras]

Спасибо.
ЗЫ Такая обознанность из киевскими вероятностными книгами..

Добавлено спустя 56 минут 7 секунд:

а вы не ошиблись на счет "загальної граничної теореми", она же формулировалась для стандартных серий.

[--mS--]

ЦПТ в схеме серий тут действительно ни при чём.
Достаточно (с учётом исправленного условия) доказать, что характеристическая функция величины $\xi_k^{-1}$ в нуле ведет себя как $\varphi(s) \sim 1-c|s|$, $s\to 0$.

Этот факт можно получить, если обосновать утверждение, обратное к утверждению задачи 6 на стр. 145 pdf-файла учебника М.В.Карташова: т.к. $\mathsf P\left(\dfrac{1}{|\xi|} > x\right) = O(x^{-1})$ и распределение симметрично, то $1-\varphi(s) = O(|s|)$, $s\to 0$.

[Taras]

Цитата:

Достаточно (с учётом исправленного условия) доказать, что

на основание чего?

[--mS--]

На основании чего достаточно? Теоремы Леви, конечно же.

[Taras]

Чтобы не подумали, что я недумая задаю глупые вопрсосы, напишу какие-то формулы:
Пусть $\varphi(t)$ -характеристическая функция $\xi^{-1}_k$, тогда сумма будет иметь х.ф. $\theta= \varphi^n(t/n)$. За теоремой Леви нужно доказать, что
$\theta \to \varphi_{\chi}, n \to \infty $ и что х.ф. распределения Коши-непрерывна в нуле(это есть). Я ошибаюсь?

[Хорхе]

Taras писал(а):

Спасибо.
а вы не ошиблись на счет "загальної граничної теореми", она же формулировалась для стандартных серий.

Да, я ошибся, у Карташова другой факт. Тогда смотрите у Петрова, там точно то, что нужно
Возможно, все это можно доказать намного проще, но, думаю, эту теорему Вам всяко полезно знать

[Taras]

а можно линк, пожалуйста!

Добавлено спустя 29 секунд:

чтобы не искать не в той книге.

[Хорхе]

Taras писал(а):

а можно линк, пожалуйста!

вот

Я понял, с чем я спутал. Карташов эту теорему доказывает в доп. главах

[Taras]

Книга-жесть! Спасибо. Очень сильные теоремы.
ЗЫ Это как теоремой Чевы доказывать, что медианы пересекаются в одной точке.

Добавлено спустя 4 минуты 16 секунд:

Попробую через характеристические функции и теорему Леви сделать и через монстрячие теоремы.

[Хорхе]

Taras писал(а):

Книга-жесть! Спасибо. Очень сильные теоремы.
ЗЫ Это как теоремой Чевы доказывать, что медианы пересекаются в одной точке.

Ага, я тоже хотел сказать, что это как кузнечным молотом орешки колоть, но решил не отпугивать. Ничего, экзамен скоро, читать полезно.