2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Изоморфные фактор-пространства
Сообщение20.12.2008, 00:06 


29/05/07
79
Я сегодня просто сыплю нетривиальными задачами. :D

Задачка для суперотцов (хотел даже в олимпиадных разместить):

$X$ -- векторное пространство, $X_0$ и $X_{00}$ -- подпрастранства в нём, причём $X\supset X_0\supset X_{00}$. Ввёдем фактор-отображение $\varphi\colon X\to X/X_{00}.$ Обозначим $Y=\varphi(X_0).$ Доказать, что
$$
X/X_0\cong (X/X_{00})/Y
$$
Буду благодарен за идею.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 00:37 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Может, стоит начать с проверки алгебраической изоморфности?
Попробовать доказать, что если $x \sim y$ справа, то и слева ( это вроде доказывается ), и наоборот ( а это еще не смотрел ).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 00:45 


29/05/07
79
Алгебраическая изоморфность? Я таких слов не знаю. :)

У меня изоморфность одна:

Векторное пространство $X$ изоморфно векторному пространтсву $Y,$ если существует линейный оператор $T\colon X\to Y,$ который является изоморфизмом (то есть эпиморфизмом и мономорфизмом).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 00:46 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Аа, так тут это просто векторные пространства, а не топологические векторные... Ну тогда кроме алгебраической изоморфности ничего и нет. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Предлагаю воспользоваться тем фактом, что для каждого подпространства $V \subset U$ векторного пространства U существует линейный опрератор $\varphi :U \to U\;,\;\ker \varphi  = V$ Этот оператор и реализует изоморфизм пространства и его фактор-пространства.
Итак, пусть $\exists \varphi :X \to X\;,\;\ker \varphi  = X_{oo} $.Тогда $Y = \varphi (X_o )$ - подпространство в Х, поэтому $\exists \phi :X \to X\;,\;\ker \phi  = Y$. Тогда отображение $\phi $ и задает требуемый изоморфизм.
Что же тут олимпиадного? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 12:26 


29/05/07
79
Brukvalub писал(а):
Предлагаю воспользоваться тем фактом, что для каждого подпространства $V \subset U$ векторного пространства U существует линейный опрератор $\varphi :U \to U\;,\;\ker \varphi  = V$ Этот оператор и реализует изоморфизм пространства и его фактор-пространства.

Этот оператор не удовлетворяет моему определению. Он вообще не реализует нужный изоморфизм. Правильно так:
$$
\varphi\colon U\to U/V,\quad\mathrm{ker}\varphi=V
$$
Ваш оператор каждому элементу пространства $U$ ставит в соответствие элемент этого же пространства. Изоморфизм же ставит в соответствие каждому элементу $U$ элемент фактор-пространства $U/V$ (то есть целый фактор-класс).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
MaхVT в сообщении #169204 писал(а):
Этот оператор не удовлетворяет моему определению. Он вообще не реализует нужный изоморфизм. Правильно так:
$$ \varphi\colon U\to U/V,\quad\mathrm{ker}\varphi=V $$
Ваш оператор каждому элементу пространства $U$ ставит в соответствие элемент этого же пространства. Изоморфизм же ставит в соответствие каждому элементу $U$ элемент фактор-пространства $U/V$ (то есть целый фактор-класс).
Я почему-то надеялся, что профакторизовать пространство по отображению с ядром Вы Асилите самостоятельно...НиАсилил :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 13:08 


29/05/07
79
Brukvalub писал(а):
Я почему-то надеялся, что профакторизовать пространство по отображению с ядром Вы Асилите самостоятельно...НиАсилил :(
Если честно, я не понимаю, что Вы говорите. Как это так "профакторизовать пространство по отображению"? Я умею факторизовать пространство по подпространству.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2008, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
MaхVT в сообщении #169216 писал(а):
Если честно, я не понимаю, что Вы говорите. Как это так "профакторизовать пространство по отображению"? Я умею факторизовать пространство по подпространству.
Я подразумеваю под этим тот факт, что образ линейного пространства при линейном отображении изоморфен факторпространству этого пространства по ядру линейного отображения, а само это отображение естественным образом задает изоморфизм образа и фактор-пространства: все элементы пространства, составляющие один класс в фактор-пространстве, попадают под действием отображения в один элемент образа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 09:38 


29/05/07
79
Эх, Brukvalub, если б я у Вас принимал эту задачу, то ни за что не принял бы. Вы упорно игнорируете тот факт, что фактор-пространство -- это самостоятельное пространство, никакого отношения после факторизации к исходному пространству не имеющее.

Но так уж и быть, я расскажу Вам грамотное решение:

по-прежнему, $\varphi\colon X\to X/X_{00}$
введём ещё фактор-отображение
$$\psi\colon X/X_{00}\to(X/X_{00})/Y$$
Тогда
$$
X/X_{0}=X/\mathrm{ker}(\psi\circ\varphi)\cong\mathrm{im}(\psi\circ\varphi)=(X/X_{00})/Y
$$

Надеюсь, Вы Асилите все переходы в последней строчке(там, кстати, чуть-чуть подумать надо).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
MaхVT в сообщении #169463 писал(а):
Вы упорно игнорируете тот факт, что фактор-пространство -- это самостоятельное пространство, никакого отношения после факторизации к исходному пространству не имеющее.
Я ничего не игнорирую. А вот Вы игнорируете тот факт, что изоморфные векторные пространства НЕРАЗЛИЧИМЫ. Откройте глазки и еще раз прочтите:
Brukvalub в сообщении #169221 писал(а):
Я подразумеваю под этим тот факт, что образ линейного пространства при линейном отображении изоморфен факторпространству этого пространства по ядру линейного отображения, а само это отображение естественным образом задает изоморфизм образа и фактор-пространства: все элементы пространства, составляющие один класс в фактор-пространстве, попадают под действием отображения в один элемент образа.
Слово ИЗОМОРФЕН Вам знакомо? А додумать детали моего рассуждения я оставил именно Вам, и упрекать меня за то, что я не разжевал все ребеночку и не положил ему разжеванное в ротик - по меньшей мере невежливо.
Если Вы так хорошо все понимаете, что беретесь поучать других, то какого... Вы просите помощи на форуме и величаете тривиальные задачи олимпиадными, умник вы наш?
MaхVT в сообщении #169112 писал(а):
Задачка для суперотцов (хотел даже в олимпиадных разместить):
:D :D :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 11:39 


29/05/07
79
А мы всё больше преходим на личности. :twisted:

Я остаюсь при своём мнении; не сомневаюсь, что и Вы останетесь при своём. Давайте уже закончим этот спор. Впрочем, если хотите, можно ещё страниц так пять поупражняться в словесной перебранке. :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
MaхVT в сообщении #169476 писал(а):
Я остаюсь при своём мнении
Это при каком мнении? При этом, что-ли:
MaхVT в сообщении #169463 писал(а):
фактор-пространство -- это самостоятельное пространство, никакого отношения после факторизации к исходному пространству не имеющее.
Почему не имеющее? Фактор-пространство является разбиением исходного пространства на подмножества, поэтому имеет отношение к исходному пространству.
Кроме того, Вы не понимаете, что ИЗОМОРФНЫЕ пространства НЕРАЗЛИЧИМЫ с точки зрения алгебраического строения и глупо считать их разными только потому, что они построены из множеств с элементами разной природы.
MaхVT в сообщении #169476 писал(а):
Давайте уже закончим этот спор.
Охотно его заканчиваю. Я бы и не начинал его, если бы Вы не пытались учить меня тому, что сами плохо понимаете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 12:14 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
MaxVT, Вы чего? Я всегда почитал Вас за грамотного и адекватного чела. Какая муха Вас укусила?

После того, как Вы мне сдавали ТА, ни за что не поверю, что Вы такую банальную чепуху почитаете задачами для суперотцов, годными для помещения в олимпиадный раздел. Или, может, есть два разных MaxVT, которых я путаю?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 12:40 


29/05/07
79
С тем, что задача олимпиадная,я, конечно, переборщил. :roll:
Муха меня укусила тогда, когда Brukvalub написал:
Цитата:
Предлагаю воспользоваться тем фактом, что для каждого подпространства $V \subset U$ векторного пространства U существует линейный опрератор $\varphi :U \to U\;,\;\ker \varphi  = V$ Этот оператор и реализует изоморфизм пространства и его фактор-пространства.

Ну ни за что в жизни я так не скажу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group