Неравенство для вероятностей событий

[MaхVT]

Доказать, что для любых событий $A,B$ выполняется неравенство (кстати говоря, неулучшаемое -- это легко показать)

$$ |{\bf P}(A\cap B)-{\bf P}(A)\cdot {\bf P}(B)|\leqslant 1/4 $$

Далее всюду $A\cap B=AB$
Могу доказать только в лёгкую сторону: ${\bf P}(AB)-{\bf P}(A){\bf P}(B)\leqslant 1/4$. Действительно, обозначив $p={\bf P}(AB),$ имеем (т.к. $A\supseteq AB,B\supseteq AB$)

$$ {\bf P}(AB)-{\bf P}(A){\bf P}(B)\leqslant p-p^2 $$

Ясно, что максимум последнего полинома равен $1/4.$

Как доказать второе неравенство, то есть $-1/4\leqslant\ldots$?

[MaхVT]

Да, непростая задачка. Это вам не норму оператора считать.

Я смог доказать второе неравенство, но очень громоздко: ввёл несколько переменных, записал уравнения связи, ввёл множители Лагранжа и исследовал на условный экстремум. Но бумаги расходуется много! Хотелось бы покороче решение, которое как-нибудь удачно использует какие-либо теоретико-множественные соотношения (ну вот, например, как в первом использовалось, что $A\supset AB$).

[ewert]

$-P(AB)+P(A)P(B)=\ldots=P(\overline AB)-P(\overline A)P(B)\leqslant{1\over4}.$

[MaхVT]

То есть так: $B=\overline{A}B\cup AB,$ значит,

$$ -P(AB)+P(A)P(B)=-(P(B)-P(\overline{A}B))+(1-P(\overline{A}))P(B) $$

ewert, спасибо огромное!