Случайное число случайных слагаемых

[MaхVT]

Дана последовательность $\{\xi_i\}$ независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально с параметрами $a=0,\sigma=1.$ $\pi$ --- это пуассоновская случайная величина с параметром $\lambda,$ не зависящая от $\{\xi_i\}.$ Найти третий момент случайной величины $\sum\limits_{i=1}^{\pi}\xi_i$.

Я хотел найти третий момент через значение хар.функции(и ёё производных) в 0. Но здесь, наверное, хар.функция выписанной суммы не равна произведению хар.функций слагаемых (ибо число слагаемых случайно). Или равна? В общем, получается, что у меня даже идей нет. Нужна идея, остальное я сам посчитаю.

[--mS--]

Нет, не равна. Запишите по определению функцию распределения $S_\pi$, по ней плотность, по ней нужный момент.

[MaхVT]

Функция распределения(счетное число слагаемых)

$$ F_{S_\pi}(x)=F_{\xi_1}(x)p_1+F_{\xi_1+\xi_2}(x)p_2+F_{\xi_1+\xi_2+\xi_3}(x)p_{3}+\ldots $$

где $p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$

По-моему, я сам не посчитаю. Плотность искать, естественно, дифференцированием функции распределения? Тогда с первым слагаем всё ясно, а вот что делать с остальными? Не буду же я свёртку считать!

В общем, как найти производную от $F_{\xi_1+\ldots+\xi_n}(x)$? Мне всё хочется через хар.функции и формулу обращения, но получается жуть:

$$ F_{\xi_1+\ldots+\xi_n}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(e^{-{t^2}/2}\right)^{n}\,dt $$

И как эту штуку дифференцировать по $x$?

[ewert]

извините, что встряну (сами-то мы ни местныя, тока мимо проходили).

Мне вот чего-то кажется, что сумма центрированных, независимых и одинаково распределённых нормальных величин -- вновь величина центрированная, нормальная, ну аж насчёт ея личной сигмы и ваще всё ясно.

[MaхVT]

О! Точно, спасибо! Только вот, чтоб доказать этот факт всё равно придется свёртку двух величин посчитать. Ну ладно, это не большая беда.

Таким, образом,

$$ F_{\xi_1+\ldots+\xi_n}(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}e^{-{t^2}/2n}\,dt $$

Правильно?

[ewert]

да вроде да -- дисперсии-то для независимых величин ведь складываются

[MaхVT]

Короче говоря, всё сводится к интегралу

$$ \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^3 e^{-x^2/2n}\,dx. $$

Этот интеграл равен 0.

Итого: третий момент равен $0.$ Ура!

Всем спасибо!