Свойство оценки, полученной методом моментов

[nevskaya]

Помогите пожалуйста разобраться. Нашла оценку методом моментов (ОММ) для первой модели Парето.
$MX=\left\{ \begin{array}{l} \frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta , \alpha > 1\\ \infty , \alpha \leqslant 1 \end{array} \right. $
$\overline{X} = \widehat{MX}$
При $\alpha > 1$
$\overline{X}=\frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta $
$\widehat{\theta}_{OMM} = \frac {\alpha - 1} {\alpha} \overline{X} $

Нужно доказать, что оценка эта несмещенная. То есть показать, что
$M(\frac {\alpha - 1} {\alpha} \overline{X})=\theta$
Начинаю: $M(\frac {\alpha - 1} {\alpha} \overline{X})=\frac {\alpha - 1} {\alpha} M \overline{X}$
А дальше? Могу ли я вместо \overline{X} подставить $\frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta $, вынести постоянный коэффициент за мат ожидание и что тогда будет с мат ожиданием?

[nevskaya]

Что-то мне уже кажется, что нельзя вместо \overline{X} подставлять $\frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta $. А что тогда?

Добавлено спустя 7 минут 33 секунды:

Верно ли, что
$\frac {\alpha - 1} {\alpha} M \overline X = \frac {\alpha - 1} {\alpha} M(MX) = \frac {\alpha - 1} {\alpha} M(\frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta) = \theta$ ?

[GAA]

Напомню себе. Распределение Парето это двухпараметрическое семейство с плотностью
$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac {\alpha x_m ^{\alpha}} {x^{\alpha + 1}}, x \ge x_m\\ 0, x < x_m \end{array} \right.$
Параметр $x_m$ обозначен через $\theta$, что, обычно, делают в том случае, когда параметр $\alpha$ известен, а $x_m$ подлежит статистической оценке. Т.к. $\mathsf M X = \frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta$, то для получения оценки параметра $\theta$, выборочное среднее приравнивается математическому ожиданию
$\overline X = \frac {\alpha} {\alpha - 1} \theta^*$,
где $\overline X = \frac{1}{n} \sum_1^n X_i$, $X_i$ — независимые и одинаково Парето-распределенные случайные величины, $n$ — объем выборки.
Следовательно $\theta^*= \frac{\alpha - 1}{\alpha} \overline X$ — OMM параметра $\theta$.

Несмещенность оценки:
$\mathsf M \theta^* =\mathsf M [\frac{\alpha - 1}{\alpha} \overline X] = \frac{\alpha - 1}{\alpha} \frac{1}{n} \mathsf M[ \sum_1^n X_i] = \frac{\alpha - 1}{\alpha} \frac{1}{n} \sum_1^n \mathsf M X_i = \theta$.

[nevskaya]

Спасибо! Очень помогли.

Добавлено спустя 54 минуты 45 секунд:

Хотелось бы еще узнать насчет её состоятельности. Точнее я знаю, что оценки, найденные методом моментов состоятельные всегда. Надо доказать это, применительно к данной модели.
Доказываю по неравенству Чебышева. Для этого надо знать дисперсию. Нашла дисперсию по её свойству, но почему-то она не стремиться к 0 при n \to \infty. Она вообще не зависит от n.

[nevskaya]

А если доказывать по определению состоятельности..
Статистика $T(X_1, X_2, ..., X_n)$ - состоятельная оценка для $\tau (\theta)$, если $P(|T(X_1, X_2, ..., X_n) - \tau (\theta)| < \epsilon) \to 1$ при $n \to \infty$

$P(|\frac {\alpha - 1} {\alpha} \overline{X} - \theta| < \epsilon) = P(- \epsilon < \frac {\alpha - 1} {\alpha} \overline{X} - \theta < \epsilon) = P(- \epsilon +\theta < \frac {\alpha - 1} {\alpha} \overline{X} < \epsilon + \theta) $ = $F_{\frac{\alpha - 1}{\alpha} \overline{X}}(\epsilon + \theta) - F_{\frac{\alpha - 1}{\alpha} \overline{X}}(- \epsilon + \theta)$

На этом запинаюсь и прошу помочь.

Добавлено спустя 30 минут 3 секунды:

Как найти $F_{\frac{\alpha - 1}{\alpha} \overline{X}}(x)$ ?

[--mS--]

Закон больших чисел проходили? $\overline X$ сходится по вероятности к $\mathsf EX_1$ при $n\to\infty$.

[nevskaya]

Неа.. Не знаю о таком.. У меня два варианта: либо по неравенству Чебышева, либо по определению. По определению тупик, по Чебышеву.. в принципе тоже, т.к. дисперсия не зависит от n.

[--mS--]

Чья дисперсия не зависит от $n$? Оценки $\theta^*$? А как Вы её находите?

Странная матстатистика без законов больших чисел и предельных теорем...

[nevskaya]

Нашла ошибку. Все верно. Дисперсия зависит от n. Свойство доказано.

Возможно я не знаю такого понятия, как закон больших чисел. Порядковые статистики?

[Brukvalub]

nevskaya в сообщении #168909 писал(а):

Возможно я не знаю такого понятия, как закон больших чисел.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB

[nevskaya]

А что вообще за обозначение такое $\mathsf EX_1$?

[GAA]

Математическое ожидание обозначается как через $\mathsf E$ (expectation), так и, иногда, через $\mathsf M$ (mean).

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Т.к. все элементы выборки одинаково распределены, то ожидание самой величины $X$, чрезвычайно часто, обозначают через $\mathsf E X_1$.