Что то я не могу уложить в голове факт неинтегрируемости неограниченных функций с беспроблемным существованием несобственного интеграла
Факт неинтегрируемости в том, что к ним просто не подходит определение интеграла ввиду их неограниченности. То, что при этом есть предел интегралов на порезанных отрезках, к делу отношения не имеет. Это совершенно постороннее отдельное свойство. То, что эти вещи обозначаются одинаково — это скорее историческое недоразумение.