Ощибка в "Механике" Ландау?...

[timn]

В параграфе 10 ("Механическое подобие") тома 1 ЛЛ написано, что при кулоновом (гравитационном) взаимодействии имеет место соотношение

$$ \frac{{t'}} {t} = \left( {\frac{{l'}} {l}} \right)^{3/2} $$

из чего сделан вывод: "... мы можем утверждать, например, что квадраты времени обращения по орбитам пропорциональны кубам их размеров (так называемый третий закон Кеплера)".

Имхо, это утверждение ложно,


ибо квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам большой полуоси эллипсов, тогда как под "размером орбит" (как написано в ЛЛ) вполне можно понимать и, например, малую полуось. Однако ее отношение к большой равно

$$ \frac{b} {a} = \sqrt {\frac{{2L^2 \left| E \right|}} {{\mu \alpha ^2 }}} $$

, т.е. может быть произвольным (зависит от начальных условий).

В связи с этим три вопроса:
1) действительно ли изложенные в §10 соображения подобия применимы только к одномерным движениям ?
2) можно ли все таки получить 3-й закон Кеплера из соображений размерности/подобия ?
3) а много ли еще сомнительных/ошибочных утверждений содержится в ЛЛ ?

[Утундрий]

Цитата:

отношение (малой полуоси - курсив мой) к большой равно... т.е. может быть произвольным (зависит от начальных условий).

Не может. Освежите в памяти определение геометрического подобия...

[Munin]

timn в сообщении #168232 писал(а):

Имхо, это утверждение ложно,

Оно просто криво сформулировано. Да, в 3 законе Кеплера рассматриваются любые орбиты с данной большой полуосью. Однако если взять две орбиты, не отличающиеся по форме (геометрически подобные), и отличающиеся только по размерам (тогда отношение их больших полуосей будет такое же, как и отношение всех других линейных размеров), то применив к таким двум орбитам 3 закон Кеплера, получим тот же закон подобия, что и в ЛЛ-1.

timn в сообщении #168232 писал(а):

1) действительно ли изложенные в §10 соображения подобия применимы только к одномерным движениям ?

Ничего подобного. К любым размерностям и к системам любого числа частиц (то есть размерность конфигурационного пространства может быть $\gg3$).

timn в сообщении #168232 писал(а):

2) можно ли все таки получить 3-й закон Кеплера из соображений размерности/подобия ?

Весь - нельзя, а частично - можно. Для полного 3 закона Кеплера нужно:
а) равенство периодов обращения по орбитам с разными эксцентриситетами;
б) подобие в степени 3/2 периодов обращения по орбитам с разными большими полуосями (можно только с совпадающим эксцентриситетом, то есть в точности механическое подобие).

timn в сообщении #168232 писал(а):

3) а много ли еще сомнительных/ошибочных утверждений содержится в ЛЛ ?

Много, но рассматривать их как сомнительные или тем более ошибочные можно только тогда, когда ваш уровень намного выше, чем уровень ЛЛ. При первом чтении выискивать ошибки крайне не рекомендуется. То, что на этом этапе вы можете принять за ошибки - всего лишь результат недостаточного понимания. Кроме того, сомнительные места там в стороне от основной линии изложения.

[timn]

Munin писал(а):

timn в сообщении #168232 писал(а):

2) можно ли все таки получить 3-й закон Кеплера из соображений размерности/подобия ?

Весь - нельзя, а частично - можно. Для полного 3 закона Кеплера нужно:
а) равенство периодов обращения по орбитам с разными эксцентриситетами;
б) подобие в степени 3/2 периодов обращения по орбитам с разными большими полуосями (можно только с совпадающим эксцентриситетом, то есть в точности механическое подобие).

Спасибо. именно это я и хотел "услышать"

[Munin]

Придирки по таким мелочам называются ловлей блох.

[fundamentalscience.ru]

timn писал(а):

действительно ли изложенные в §10 соображения подобия применимы только к одномерным движениям ?
2) можно ли все таки получить 3-й закон Кеплера из соображений размерности/подобия ?
3) а много ли еще сомнительных/ошибочных утверждений содержится в ЛЛ ?

Вообще ошибочные утверждения имеются, но их немного. Сомнительных мест - полно. ЛЛ не принято так придирчиво обсуждать. Если человек дорос до его уровня, то надо уже смотреть на все чуть шире, а не ковыряться в мелочах.
Тут ошибок нет. Приведен один из самых простых примеров задачи на умение применять изучаемый мат.аппарат.

[timn]

fundamentalscience.ru писал(а):

Вообще ошибочные утверждения имеются, но их немного. Сомнительных мест - полно. ЛЛ не принято так придирчиво обсуждать

Позвольте поведать историю моего вопроса: довелось мне однажды составить конспект лекции по классической механике о законах Кеплера. И после того, как их "классическое" выведение (решение задачи двух тел в поле \alpha/r) было написано, я вспомнил, что "где то в ЛЛ 3-й закон выводился из простых соображений подобия"... С целью показать, насколько полезны подобные (размерность, подобие, ...) соображения (а то в учебных программах этому почему то мало внимания уделяют), захотелось привести этот "простой" способ вывода... И тут я понял, что не могу строго показать, что из подобия следует пропорциональность T^2 \sim a^3... Ну и создал эту тему дабы меня просветили...

[Munin]

timn
Посмотрите обсуждение законов Кеплера у Арнольда. Оказывается, полная форма третьего закона выводится тоже из некоторой симметрии, хотя и не так просто, как его масштабная часть.