Ряд

[antbez]

Теорема Римана разве не посвящена условно сходящимся рядам?

[ewert]

Если ряд сходится абсолютно, то с перестановками всё замечательно. Теорема Римана утверждает, что в случае условной сходимости всё совсем нехорошо. Совокупность этих двух утверждений как раз и сводится к формулировке Brukvalub'а.

[QueenMaid]

Cпасибо большое RIP за идею решения и Brukvalub за то, что мне ее донес).

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Отвечу за RIP, который указал изящное решение:
$\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{x}} dx = \int\limits_n^\infty {\frac{{d\sin x}}{x}} = - \frac{{\sin n}}{n} + \int\limits_n^\infty {\frac{{\sin x}}{{x^2 }}} dx =$

Ну, не столь уж и изячное. Если первое интегрирование по частям ещё вполне оправданно, то второе -- совсем не пришей кобыле хвост. Ибо самый последний (процитированный мною) интеграл сходится самым наглым и абсолютным способом.

[RIP]

ewert писал(а):

Brukvalub писал(а):

Отвечу за RIP, который указал изящное решение:
$\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{x}} dx = \int\limits_n^\infty {\frac{{d\sin x}}{x}} = - \frac{{\sin n}}{n} + \int\limits_n^\infty {\frac{{\sin x}}{{x^2 }}} dx =$

Ну, не столь уж и изячное. Если первое интегрирование по частям ещё вполне оправданно, то второе -- совсем не пришей кобыле хвост. Ибо самый последний (процитированный мною) интеграл сходится самым наглым и абсолютным способом.

Интеграл-то сходится, но ведь нужно исследовать на сходимость ряд из этих самых интегралов. Для этого и понадобилось второе интегрирование.