Уравнения

[Igor999]

Помогите, пожалуйста решить задачу.

Получить а) каноническое уравнение,
б) параметрические уравнения,
в) нормальное уравнение,
г) уравнение с угловым коэффициентом
прямой AB, если A(5;7), B(-2;3).

[mkot]

Для решения Вам потребуется:
(1) вспомнить/узнать, что такое каноническое уравнение прямой,
(2) вспомнить/узнать, что такое параметрическое уравнение прямой,
(3) вспомнить/узнать, что такое нормальное уравнение прямой,
(4) вспомнить/узнать, что такое уравнение прямой с угловым коэффициентом,
(5) записать уравнение прямой, проходящей через две точки, воспользовавшись формулой

$$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}, $$

(6) увидеть, что полученное уравнение имеет вид, искомый в пункте (1),
(7) введя параметр $t$:

$$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = t $$

и выразив $x$ и $y$, получить ответ на пункт (2),
(8) Преобразовать уравнение из пункта (5) к виду $Ax + By + C = 0$
и разделить его на $\pm\sqrt{A^2 + B^2}$, тем самым получить нормальное уравнение прямой (какой выбрать знак поймите сами, исходя из определения нормального уравнения прямой),
(9) Уравнение вида $Ax + By + C = 0$ путём несложных преобразований привести к виду $y = kx + b$, тем самым завершив решение задачи.

Настоятельно рекомендую начать с пунктов (1)-(4).

[Igor999]

В пункте а) у меня получилось

\[ \begin{gathered} \frac{{x - 5}} {{ - 2 - 5}} = \frac{{y - 7}} {{3 - 7}} \hfill \\ \frac{{x - 5}} {{ - 7}} = \frac{{y - 7}} {{ - 4}} \hfill \\ \frac{{x - 5}} {7} = \frac{{y - 7}} {4} \hfill \\ \end{gathered} \]

[Brukvalub]

Верно.

[mkot]

Igor999, попробуйте сами проверить свой ответ.
Для этого достаточно знать следующие факты:
(1) Через любые две несовпадающих точки проходит прямая, и при том только одна.
(2) Если точка лежит на прямой, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой получим верное тождество.

Подставьте координаты точек $A$ и $B$ в уравнение и посмотрите, что получилось.

[Igor999]

По параметрическому уравнению у меня получилось

\[ \left\{ \begin{gathered} x = 5 - 7t \hfill \\ y = 7 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Нормальное уравнение

\[ \begin{gathered} \frac{{x - 5}} {7} = \frac{{y - 7}} {4} \hfill \\ 4(x - 5) = 7(y - 7) \hfill \\ 4x - 20 = 7y - 49 \hfill \\ 4x - 7y + 29 = 0 \hfill \\ m = \frac{{ - 1}} {{\sqrt {4^2 + 7^2 } }} = \frac{{ - 1}} {{\sqrt {65} }} \hfill \\ - \frac{4} {{\sqrt {65} }}x + \frac{7} {{\sqrt {65} }}y - \frac{{29}} {{\sqrt {65} }} = 0 \hfill \\ p = \frac{{29}} {{\sqrt {65} }},\cos \alpha = - \frac{4} {{\sqrt {65} }},\sin \alpha = \frac{7} {{\sqrt {65} }} \hfill \\ \end{gathered} \]

уравнение с угловым коэффициентом

\[ \begin{gathered} 4x - 7y + 29 = 0 \hfill \\ 7y = 4x + 29 \hfill \\ y = \frac{4} {7}x + \frac{{29}} {7} \hfill \\ y = \frac{4} {7}x + 4\frac{1} {7} \hfill \\ \end{gathered} \]

Прошу проверить решение.

[Усталый]

Верно