Задачка попалась, наверное, класс за 9-10, а я за долгие годы, проведенные в инсте, все забыла.
(( Может, подскажете?
Из точки О внутри треугольника ABC на его стороны AB,BC,AC опущены перпендикуляры OP,OQ,OR. Докажите, что OA+OB+OC>=2(OP+OQ+OR)
У меня у самой есть 2 мысли.
1. Попробовать решить "в лоб"
Сначала я выражаю площади
S(OBA)=OR*AC/2; S(OCB)=OQ*CB/2; S(OAC)=OP*AB/2;
Теперь записываю 3 неравенства треугольника OA+OC>=AC; OA+OB>=AB; OB+OC>=BC
Отсюда получаю 2*(OA+OB+OC)>=AB+BC+CA
Теперь записываю формулу Герона
S(ABC)=корень(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CB)), где p=(AB+BC+CA)/2
Только укогда я пытаюсь выразить искомое неравенство из равенства
S(ABC)=S(OBA)+S(OCB)+S(OAC), у меня какие-то квадраты получаются. Может, там что-то сократить надо?
Вариант 2. Очевидно, что неравенство обращается в равенсто, если точка O - пересечение биссектрис равностороннего треугольника. Может, пропробовать доказать, что если немного пошевелить эту точку, то сумма только уменьшится?
