2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Треугольник, теорема Эрдеша-Морделла-Барроу
Сообщение13.03.2006, 13:01 
Аватара пользователя
Задачка попалась, наверное, класс за 9-10, а я за долгие годы, проведенные в инсте, все забыла. :((( Может, подскажете?
Из точки О внутри треугольника ABC на его стороны AB,BC,AC опущены перпендикуляры OP,OQ,OR. Докажите, что OA+OB+OC>=2(OP+OQ+OR)

У меня у самой есть 2 мысли.
1. Попробовать решить "в лоб"
Сначала я выражаю площади
S(OBA)=OR*AC/2; S(OCB)=OQ*CB/2; S(OAC)=OP*AB/2;
Теперь записываю 3 неравенства треугольника OA+OC>=AC; OA+OB>=AB; OB+OC>=BC
Отсюда получаю 2*(OA+OB+OC)>=AB+BC+CA
Теперь записываю формулу Герона
S(ABC)=корень(p*(p-AB)*(p-BC)*(p-CB)), где p=(AB+BC+CA)/2

Только укогда я пытаюсь выразить искомое неравенство из равенства
S(ABC)=S(OBA)+S(OCB)+S(OAC), у меня какие-то квадраты получаются. Может, там что-то сократить надо?

Вариант 2. Очевидно, что неравенство обращается в равенсто, если точка O - пересечение биссектрис равностороннего треугольника. Может, пропробовать доказать, что если немного пошевелить эту точку, то сумма только уменьшится?

 
 
 
 
Сообщение13.03.2006, 13:40 
Это теорема Эрдеша-Морделла-Барроу (Эрдеша-Морделла). Теорема известная, сам видел несколько доказательств, но ни одного достаточно легкого. Можете порыться по названию теоремы в сети, авось что-то найдется.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2006, 09:31 
Аватара пользователя
Ну хоть пару доказательств приведи? А то я в Гугле ввожу название теоремы, а там только формулировки

 
 
 
 
Сообщение14.03.2006, 12:37 
Аватара пользователя
А, все, нашла в англоязычном форуме!

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group