Интеграл f^(-0.5)

[sko1111]

\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2+36\right)^3}}

подстановка t = x^2+36 имхо только усугубит ситуацию. какую использовать? спасибо

[ewert]

$x=6\,\tg t$. Или подождите, пока подойдёт Brukvalub и подскажет алгебраическую (мне лень).

[GAA]

Способ № 2 (из пяти возможных). Вынесите $x^2$ из под знака корня. При этом придется рассмотреть два случая: $x > 0$ и $x < 0$. Например при $x > 0$ имеем $\int \frac{dx}{x^3\sqrt{(1+36/x^2)^3}}$. Затем, вносим $1/x^3$ под знак дифференциала: $\frac{dx}{x^3} = \frac{d(1/x^2)}{-2}$. Наконец, домножаем выражение под знаком дифференциала на 36 и добавляем 1. Т.е. замена $u=1 + 36/x^2$

Добавлено спустя 8 минут 35 секунд:

Немного «на другом языке»: примените третью подстановку для биномиального дифференциала.

[antbez]

А я бы предпочёл замену

$x=6 sht$

[ewert]

так и впрямь проще, но не всем привычнее (очень многий народ даже и не слыхал про гиперболическия функция)

[Someone]

Подстановка Абеля: $t=\left(\sqrt{x^2+36}\right)'$.

[GAA]

Способ N 4. Интегрированием по частям.
Способ N 5. Первая подстановка Эйлера для квадратичной иррациональности.
(Замена $t=6\ctg x$, будем считать, принадлежит способу N.1).
И почти все это --- уже обсуждалось на этом форуме применительно к этому интегралу.