Экстремумы функции нескольких переменных

[Explent]

есть такая задачка

найти наименьшее и наибольшее значения функции $z=x^2+2y^2+1$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств:
$ \left\{ \begin{array}{l} x\geqslant 0\\ y\geqslant 0\\ x+y\leqslant 3\\ \end{array} \right. $

объясните пожалуйста, каким образом это решать, что почитать?

[bubu gaga]

Нарисуйте область $D$ на бумаге и подумайте о доминировании одних точек над другими. Например всегда верно, что $z(a, b) < z(a + 1, b)$. Потом, когда область $D$ сузится до одного отрезка, подумайте, что происходит, когда вы передвигаете точку по этому отрезку. Подумайте в какую сторону её лучше передвигать.

[Explent]

функция $z$ описывает эллиптический параболоид, а область $D$ получается треугольник в плоскости XOY.
В принципе, из графика очевиден минимум функции в этой области, $z(0,0)=1$.

но как это записать в виде формул мне по прежнему не ясно...

[Brukvalub]

Explent в сообщении #167732 писал(а):

но как это записать в виде формул мне по прежнему не ясно...

Исследуйте ф-цию на экстремум внутри области и на условный экстремум на границе области. Точки наибольшего и наименьшего значений будут находиться среди найденных локальных экстремумов.

[ewert]

Причём даже не среди точек экстремума, а -- точек, подозрительных на экстремум (т.е. достаточные условия экстремума проверять не нужно). При этом, естественно, учитываться должны лишь точки, попадающие внутрь области и внутрь соответствующих отрезков границы (не на их продолжение).

Но!! Принципиально, что в число подозрительных точек следует включить также все вершины границы; их в любом случае необходимо рассмотреть отдельно

[Yu_K]

А может лучше просто сем-во эллипсов концентрических (однако неологизм наверное получился - концентрические эллипсы ) - как линии уровня целевой функции? Просто для понимания вроде так попроще будет.

[ewert]

Будет гораздо хуже. То, что это именно эллипсы -- случайность, причём очень частная.

---------------------------------------------------------------------
Ну т.е. раз Explent уже увидел там параболоид, что уж тут поделаешь -- не ослепнуть же ему взад. Только нужен-то ему не ответ, а алгоритм решения.

[Селина]

Помогите решить.Исследовать на экстремум Z=x2+у2+4x–4у+3[/b]

[GAA]

[mod]Селина, тема перемещена из "Помогите решить/разобраться (M)" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться. Там же описано, как исправлять ситуацию. (В частности, набрать правильно условие, продемонстрировать содержательные попытки решения, указать конкретные затруднения.) [/mod]