Задача Дирихле для уравнения Пуассона, функция Грина

[id]

Дана задача. Свелась к интегралу, который не могу подсчитать.
$\triangle u = e^{-z} \sin x \cos y$
$z>0, u|_{z=0} = 0$

Попытки решения:
Функция Грина полупространства $z>0: \frac 1 {4\pi} (\frac 1 {|(x,y,z) - (x',y',z')|} - \frac 1 {|(x,y,z) - (x',y',-z')|})$

Соответственно решение будет задаваться формулой
$u(x,y,z) = \frac 1 {4\pi} \int_{z'>0} (e^{-z'} \sin x' \cos y')(\frac 1 {|(x,y,z) - (x',y',z')|} - \frac 1 {|(x,y,z) - (x',y',-z')|}) dv'$
(интеграл по объему полупространства $z'>0$)

Ответ:
$\sin x cos y (e^{-z} - e^{-\sqrt{2}z})$

Но как полученный интеграл к этому ответу свести? Вроде, ничего не сокращается, а в таком виде его и Maple не берет.

[V.V.]

А Вы напишите фразу: "Будем искать решение в виде $u=f(z)\sin{x}\cos{y}$". Сразу станет легче.

[id]

V.V.
В крайнем случае ( если не удастся решить напрямую ) так, наверно, и сделаю.
Но нет ли более честного способа? Посчитать все-таки как-нибудь этот интеграл, скажем.

[V.V.]

О! Другой честный способ. Сделайте преобразование Лапласа по $z$ и преобразование Фурье по $x$ и $y$. [/b]

[id]

Эх. Спасибо, подумаю в этом направлении...
А с интегралом все-таки никак?