Не могу решить 256XXXXX = 2^N N>8; N-?

[Max Godsie]

Вот никак не могу решить, какая степень двойки кроме 2^8=256 имеет первыми тремя цифрами 256. Тоесть нужно найти любую степень болюшую 8 в которую нужно возвести 2, чтобы получить число, начинающееся с 256. (256ХХХХХХХХ) . Решение должно быть не методом перебора или "пристального вглядывания". =)

Всё что мне пока удалось - на компьютере перебрать степени двойки и построить график зависимости числа являющегося степенью двойки и начинающего с 256 от номера этой степени. Получилась суперпозиция чего-то оссциллирующего с чем-то линейным. Более ничего интересно не узналось =( Может вы поможете вывести общую зависимость или любой другой метод решения без перебора.

[незваный гость]

Да-с. Если число имеет вид $2^n = 256xxx$, то его десятичный логарифм находится в пределах между $ \log_{10} 256 + k < n \log_{10} 2 < \log_{10} 257 + k$, где $k$ -- количество цифр после 256. Отсюда неравенство для $n$: $ 8 + k \log_2{10}< n < \log_{2} {257} + k \log_{2}10$. Для каждого $k$ мы имеем достаточно узкий интервал, в который должно попасть целое $n$.

Поскольку $\log_{2}{10}$ -- иррационально, интервалы растределены достаточно равномерно, и вероятность попасть в такой интервал для целого числа пропорциональна его длине. Для $k \le 1000$ (меньше 1000 цифр) имеем $n$ 8, 689, 1174, 1659, 2144, 2825, 3310.

В среднем для больших $K$ мы имеем примерно $K \log_2 \frac{257}{256}$ решений, не превосходящих $K$ -- та самая линейная зависимость.

[незваный гость]

Еще один забавный ввывод -- степеней двойки, начинающихся на 100 заметно больше, чем степеней двойки, начинающихся на 999.