2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Не могу решить 256XXXXX = 2^N N>8; N-?
Сообщение12.03.2006, 22:59 
Аватара пользователя
Вот никак не могу решить, какая степень двойки кроме 2^8=256 имеет первыми тремя цифрами 256. Тоесть нужно найти любую степень болюшую 8 в которую нужно возвести 2, чтобы получить число, начинающееся с 256. (256ХХХХХХХХ) . Решение должно быть не методом перебора или "пристального вглядывания". =)

Всё что мне пока удалось - на компьютере перебрать степени двойки и построить график зависимости числа являющегося степенью двойки и начинающего с 256 от номера этой степени. Получилась суперпозиция чего-то оссциллирующего с чем-то линейным. Более ничего интересно не узналось =( Может вы поможете вывести общую зависимость или любой другой метод решения без перебора.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2006, 00:24 
Аватара пользователя
:evil:
Да-с. Если число имеет вид $2^n = 256xxx$, то его десятичный логарифм находится в пределах между $ \log_{10} 256 + k < n \log_{10} 2 < \log_{10} 257 + k$, где $k$ -- количество цифр после 256. Отсюда неравенство для $n$: $ 8 + k  \log_2{10}< n < \log_{2} {257} + k \log_{2}10$. Для каждого $k$ мы имеем достаточно узкий интервал, в который должно попасть целое $n$.

Поскольку $\log_{2}{10}$ -- иррационально, интервалы растределены достаточно равномерно, и вероятность попасть в такой интервал для целого числа пропорциональна его длине. Для $k \le 1000$ (меньше 1000 цифр) имеем $n$ 8, 689, 1174, 1659, 2144, 2825, 3310.

В среднем для больших $K$ мы имеем примерно $K \log_2 \frac{257}{256}$ решений, не превосходящих $K$ -- та самая линейная зависимость.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2006, 00:34 
Аватара пользователя
:evil:
Еще один забавный ввывод -- степеней двойки, начинающихся на 100 заметно больше, чем степеней двойки, начинающихся на 999.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group