Гиперболическое уравнение

[id]

Дана задача. Не получается.
$u_{xx} - u_{yy} + \frac 2 x u_x = 0, y > 1+|x|\\ u|_{y=1+x} = 1-x, u|_{y=1-x} = 1+x$

Тут и возникает первый вопрос - что это за странный тип задачи? Т.е., была бы в одном месте частная производная - было бы ясно, что задача Коши. Тут непонятно. Но решил все же попробовать ее решить:

I попытка:
Как обычно, приводим к каноническому виду.
Характеристики: $y-x = \alpha, y+x = \beta$
Уравнение в новых переменных: $ \frac {\partial ^2 u} {\partial \alpha \partial \beta} = - \frac {u_{\beta} - u_{\alpha}} {\beta - \alpha}$
Новые условия: $u|_{\alpha = 1} = 1 - \frac {\beta - \alpha} 2, u|_{\beta = 1} = 1 + \frac {\beta - \alpha} 2$

Что делать - непонятно. Надеялся, что уравнение в ч.п. будет легко интегрируемым - так тут вроде такого не получается.

II попытка:
Сразу избавиться от странных условий и упрощать уравнение заменами.
$t = \frac {1+x - y} x$.
$u_y = u_t(-\frac 1 x), u_{yy} = u_{tt}(\frac 1 {x^2}) \Rightarrow$
$x^2 u_{xx} +2xu_x = u_{tt}$
Пусть теперь $s = \ln(x) \Rightarrow$
$u_x = u_s \frac 1 x, u_{xx} = u_{ss} \frac 1 {x^2} - u_s \frac 1 {x^2} \Rightarrow$
$u_{ss} + u_s = u_{tt}$
$u|_{t=0} = 1-e^s, u|_{t=2} = 1+e^s$
Опять же, не получается никакого нормального вида для задачи... Далее уравнение можно попробовать так же привести к канонической форме, в новых переменных будет
$\frac {\partial ^2 u} {\partial \alpha \partial \beta} = - \frac {u_{\beta} + u_{\alpha}} 4$

Вопрос: Что делать?
Будь условие на производную, попробовал бы метод Римана... но тут этого нет, и последние в попытках уравнения в канонической форме в $\alpha, \beta$ я даже не знаю, как решить.

Добавлено спустя 1 час 11 минут 51 секунду:

Ну и еще добавлю.
Вот это -

Цитата:

$u_{ss} + u_s = u_{tt} \\$ $u|_{t=0} = 1-e^s, u|_{t=2} = 1+e^s$

- очень сильно у меня ассоциировалось с задачей на колебание струны с неоднородными граничными условиями, которая сводится к задаче с однородными условиями и дальше решается разделением переменных.
Но нет начальных данных, чтобы можно было говорить о смешанной задаче.

[V.V.]

А почему условия странные? Нормальные условия, заданы на характеристиках. Называется это задачей Гурса.

[id]

О задаче Гурса что-то я не подумал, начал изобретать непонятно что.
А есть какая-нибудь стандартная процедура/формула нахождения ее решения? Причем без сведения к интегральным уравнениям и последовательных приближений.

[V.V.]

Да, есть метод Римана.

[id]

Спасибо, буду думать.
А где можно конкретно почитать про применение метода Римана для решения задачи Гурса ( в книгах, что под рукой, он только для решения задачи Коши демонстрируется )?

[Martin_Iden]

Есть в книге:
К.Б. Сабитов "Уравн. мат. физ."
парагр. 12 - 14

[V.V.]

А можно еще попытаться найти общее решение с помощью каскадного метода Лапласа и подставить краевые условия.

[id]

V.V.
Метод Лапласа не подойдет, т.к. решать нужно только методами, разобранными на практике, его там не было.

Добавлено спустя 22 минуты 49 секунд:

Я посмотрел во Владимирове, Уравнения математической физики, там приводится система интегральных уравнений, эквивалентная исходным, но решение её строится последовательными приближениями. Т.е. мне не подходит.

[V.V.]

id, нормальный преподаватель только порадуется, если студент сам разберет что-то дома.

[id]

Может быть, но мне все же было бы пока что интереснее попробовать его решить без метода Лапласа, методом Римана ( я бы решил уже, наверно, но я не знаю, как применять метод Римана для задачи Гурса ).

[id]

Задача решилась, правда, не методом Римана - просто можно было сделать замену $u = \frac 1 x v$, и для $v$ получалось существенно более простое уравнение: $\frac {\partial ^2 v} {\partial x^2} = \frac {\partial ^2 v} {\partial y^2}$, с общим решением $v = f_1(y-x) + f_2(y+x)$.
Вместе с граничными условиями з. Гурса это дало простое функ. уравнение.

Всем большое спасибо!

[V.V.]

М-да...
Надо быть ближе к народу!

Впрочем, о методе Римана в применении к задаче Гурса я все-таки собираюсь в ближайшие написать в свой текст...