Сумма гауссиан

[Gin]

Здравствуйте, нужна помощь в следующем доказательстве: необходимо доказать, что функция полученная в результате сложения двух гауссиан, является гауссианой.
Достаточно самой идеи доказательства...

[Brukvalub]

Один из стандартных путей:
1. Найти распределение случайного вектора из двух гауссиан - это операция. которая излагается почти в любом учебнике п т.в.
2. Воспользоваться формулой для плотности суммы абсолютно непрерывных распрделений при известной плотности их совместного распределения:

\[ f_{X + Y} (u) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f_{X,Y} (t,u - t)dt} \]

Путь этот тернист (много выкладок), но реализуем!
.

[GAA]

3. Можно воспользоваться характеристическими функциями, как это делает, например, Н.И. Чернова в лекциях по МС 2005г. (см., в частности, гл 13 Характеристические функции, § 2. Свойства характеристических функций).

[Gin]

Благодарю за помощь, обдумал все предложенные варианты, для меня наиболее простым в понимании и реализации оказался - 3 (предложенный GAA)

[ewert]

Gin в сообщении #166928 писал(а):

Здравствуйте, нужна помощь в следующем доказательстве: необходимо доказать, что функция полученная в результате сложения двух гауссиан, является гауссианой.

Достаточно самой идеи доказательства...

На мой взгляд, наиболее идейный способ -- обобщить задачу. Допустим, есть многомерное нормальное распределение с любыми параметрами. И надо доказать, что любая линейная комбинация исходных переменных распределена нормально.

Ну так надо тупо выписать плотность для этой комбинации. И выделением полных квадратов убедиться в том, что там как ни крути -- а выплывает стандартный гауссовский колокольчик.

[Gin]

Прошу прощения за нечетко сформулированную задачу.
Попробую немного уточнить:
Даны два нечетких числа, заданные функциями: $m_1(x)=e ^{\frac {-(x-a_1)^2} {c_1^2}}$ и $m_2(x)=e ^{\frac {-(x-a_2)^2} {c_2^2}}$ соответственно.
Нужно доказать, что графиком функции найденным по формуле $(m_1+m_2)(x)=sup(min[m_1(x_1), m_2(x_2)]: x_1+x_2=x)$ является гауссиана.

Был предложен вариант доказательства через понятие характеристической функции, чем я и воспользовался. Но, тогда встает другая проблема: как можно осуществить переход от нечетких чисел к случайным величинам? и будет ли сумма тех и других в данном случае совпадать?