Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа ....

[Dgeyms]

Помогите пожалуйста решить задачу ...
Условие задачи:
Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа z = z1 + z2 . Изобразить числа z1 , z2 и z на комплексной плоскости. Вычислить z12 по формуле Муавра.

\[{z_1} = 2\]

;

\[{z_2} = 2\left( {\cos \left( {\frac{{5\pi }} {3}} \right) + i \cdot \sin \left( {\frac{{5\pi }} {3}} \right)} \right)\]

[Really]

А что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа вы знаете?

[Dgeyms]

Понимаю прекрасно, что надо решать самому, но за три недели невозможно выучить курс высшей математике...
P.S. Матрицу одолел сам ... от остального мозг кипит...

Как я понял z2 уже в тригонометрической форме, надо z1 привести в эту форму и потом всё сложить...

[ewert]

Dgeyms в сообщении #166492 писал(а):

Как я понял z2 уже в тригонометрической форме, надо z1 привести в эту форму и потом всё сложить...

Нет, тригонометрические формы не складываются.
Напишите сумму в алгебраической форме (ровно так, как она автоматически получается) и преобразуйте косинус и синус по формулам для удвоенного аргумента.

[Sherpa]

и соответсвенно z2 привести в алгебраическую и тоже сложить

[Dgeyms]

Если не трудно распишите пожалуйста...

[Azog]

думаю, что коллеге ewert, банально влом =)
Распишите сами.

[Усталый]

$ \cos (\frac{5 \pi}{3} ) = \cos (\frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2} $
$ \sin (\frac{5 \pi}{3} ) = -\sin ( \frac{\pi}{3} ) = -\frac{\sqrt {3}}{2} $

Теперь раскройте скобки и получите алгебраическую форму числа $ z_2 $. И складывайте...

Цитата:

Вычислить z12 по формуле Муавра.

Вероятно, имелось ввиду $ z_1^2 $?

[ewert]

Dgeyms писал(а):

Помогите пожалуйста решить задачу ...
Условие задачи:
Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа z = z1 + z2 . Изобразить числа z1 , z2 и z на комплексной плоскости. Вычислить z12 по формуле Муавра.

\[{z_1} = 2\]

;

\[{z_2} = 2\left( {\cos \left( {\frac{{5\pi }} {3}} \right) + i \cdot \sin \left( {\frac{{5\pi }} {3}} \right)} \right)\]

Вот всё, на что я способен:

$$z_1+z_2=2\left( \left(1+{\cos {\frac{{5\pi }} {3}} \right) + i \cdot \sin {\frac{{5\pi }} {3}} } \right)$$

А дальше мне не то что даже банально, а -- принципиально влом. Пока, во всяком случае. Используйте школьную тригонометрию.

[Everest]

1) $z_1=2+0 \cdot i$
$z_2=2(cos(\frac{5\pi}{3})+i(sin(\frac{5\pi}{3}))=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i)=1-\sqrt{3} i$
Поэтому
$z_1+z_2=(2+0 \cdot i)+(1-\sqrt{3} i)=3-\sqrt{3} i$.
Теперь запишем это в тригонометричеcкой форме. Модуль комплексного числа равен $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{(-\sqrt{3}})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
Далее по формулам: $cos \alpha=\frac{a}{r}$ и $cos \alpha=\frac{b}{r}$. И почти все.

Формула Муавра: $r^{n}(cos \alpha+isin \alpha)^{n}=r^{n}(cos n\alpha+isin n\alpha)$. Тут все очевидно.

Теперь про изображение чисел на комплексной плоскости. Комплексное число $z=a+bi$ естественно изобразить точкой на плоскости, приняв числа $a$ и $b$ за координаты точки, изображающей число $z$. При этом каждому комплексному числу соотвествует точка и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число. Вещественные числа изображаются точками с равными нулю ординатами, т.е. точками, лежащими на оси абсцисс. На оси ординат распологаются изображения "чисто мнимых" чисел $bi$. Началу координат соответсвует число 0.