Суммирующая функция

[juna]

Уважаемые математики форума! Докажите следующую асимптотическую формулу:
пусть задана функция вида $\varphi(N)={\frac {b_2} {N^2}}+{\frac {b_3} {N^3}}+{\frac {b_3} {N^3}}+...$
тогда имеем
$\sum\limits_{i=1}^N \varphi(i)=\sum\limits_{q=1}^{\infty}(\ b_q+\sum\limits_{k=0}^{q-1}\frac{C_q^k B_k b_{q+1-k}}q) - \sum\limits_{q=1}^{\infty}\frac 1 {{(N+1)}^q}(\ b_q+\sum\limits_{k=0}^{q-1}\frac{C_q^k B_k b_{q+1-k}}q)$
первое слагаемое формулы - асимптотическое представление некоторой константы.
Bk - числа Бернулли
Формула была выведена индуктивно, но доказать ее полностью не удается. При доказательстве желательно не использовать формулу Эйлера -Маклорена в готовом виде.

[Руст]

В формуле есть ошибки. Но судя по виду всё сводится к представлению:
$\frac{1}{n^q}=\sum_{k=0}^{\infty} s_{k,q}(\frac {1}{n^{q+k-1}}-\frac{1}{(n+1)^{q+k-1}})$
При определении коэффициентов $s_{k,q}$ появятся числа Бернулли.

[juna]

Укажите, пожалуйста, где именно ошибки. Считается, что $b_1=0$.
По-поводу идеи спасибо. Подумаю...

[Руст]

Мне кажется имеется смещение в индесах для b.
Так всё это есть суммирование отрицательных степеней чисел от 1 до N. Для положительных степеней такой подход дает выражение через многочлены Бернулли. Здесь почти то же самое приведёт выражению через отрицательные степени от N+1.

[juna]

Да нет, наверное, ошибок. Укажу лишь непосредственные следствия из этой формулы, которые являются общеизвестными формулами обвертывающих рядов некоторых констант:
$\zeta(n)=1+\sum\limits_{i=0}^{\infty} {\frac {C_{n-1+i}^i B_i} {n-1+i}$ - дзета функция
\gamma=\frac 1 2 +\sum\limits_{i=2}^{\infty} {\frac {B_i} i - постоянная Эйлера

При индуктивном выводе этой формулы действительно использовались примерно указанные Вами закономерности. Но дело в том, что в окончательном виде данная формула - это лишь догадка, используюшая формулу Бернулли для положительных степеней - проверяем для первого - сходится, для второго - тоже и т.д. - делаем индуктивный вывод, но ничего этим не доказываем. Математическая индукция ведет к таким пугающим выражения, что при попытке доказать - руки опускаются. Может как-то использовать формулу Эйлера-Маклорена?

[Руст]

1. Во первых в приведённых формулах все суммы расходящиеся из-за того, числа Бернулли экспоненциально растут.
2. Такого рода формулы, я сам когда то выводил. Но никаких черновиков не осталось, поэтому может быть и нет сдвига в индексах коэффициентов b.
3. Потом мне попалась книга "Конкретная математика" где есть общий вывод формул суммирования Эйлера. Возможно и формула интересующая вас.
4. Всё это перекликается и с книжкой "Квантовый анализ", там тоже есть некоторые способы суммирования.

[juna]

То, что эти ряды расходятся – это очевидный факт – это обвертывающие ряды.
Нужно брать конечное число членов. Ясно, что вместо асимптотического приближения констант в формулу можно сразу подставлять их значения и тогда, хотя ряды и расходятся, но дают лучшее приближение из многих возможных – Вам все это известно. Но вот что меня действительно интересует – можно ли используя эти асимптотические разложения констант как-то продвинуться в вопросе измерения их трансцендентности.
У классиков Эйлера, Харди, Пуанкаре предлагаемой формулы я не нашел. Для констант Эйлер приводит соответствующие формулы, но выводит их из своего интеграла. То, что данная формула большого значения для математики не имеет – скорее всего – это лишь одна из возможных интерпретаций уже открытых Л.Эйлером закономерностей. Но все-таки интересно, откуда она выплывает – выводится аналитически (у Вас, мне кажется, этот интерес уже исчез). В печатных изданиях данная формула вряд ли встретится – уж слишком велико здесь поле различных интерпретаций. В предлагаемой интерпретации я вижу один большой недостаток – она не доказана и одну особенность – отсутствие интеграла. Данная формула видимо аналог формулы Бернулли для отрицательных степеней.

[juna]

Огромное спасибо за рекомендации хороших книг. Они как раз попадают в сферу моих интересов.
Кац, Чен "Квантовый анализ" - приобрел, а вот с Грэхем, Кнут, Паташнин "Конкретная математика" - видел на сайте издательства только содержание (облизнулся) - а книги в продаже нет (последнее издание в 2000 г.). Есть она в электронной библиотеке мехмата, но после известного "обрезания" - нет доступа. Если у кого-то есть альтернативные ссылки - большое please...
С уважением и надеждой на дальнейшее общение, Артамонов Ю.Н.

[Dan_Te]

Альтернативные ссылки есть. Воспользуйтесь poiskknig.ru