2006^{2007} и 2007^{2006}, а также sin 2007^\circ

[voroninv]

1) Что больше: $2006^{2007}$ или $2007^{2006}$?
2) Рациональным или иррациональным является число $\sin {2007}^\circ$?

Из межрегиональной заочной математической олимпиады школьников 2006/2007 учебного года, которую проводила школа Авангард.

[maxal]

Задачи почти что тривиальные:
1. Решается, например, через исследование участков монотонности $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ и сравнение $f(2006)$ с $f(2007)$.
2.Из формулы для $\sin 40x$ нужно составить многочлен, корнем которого является $\sin 2007^{\circ}$, и пробежаться по его рациональным корням.

[voroninv]

maxal писал(а):

1. Решается, например, через исследование участков монотонности $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ и сравнение $f(2006)$ с $f(2007)$.

Да, неплохое решение. Но задача предлагалась в 9 классе, а им пока слабо исследовать эту функцию. Должно существовать более элементарное решение

maxal писал(а):

2. Из формулы для $\sin 40x$ нужно составить многочлен, корнем которого является $\sin 2007^{\circ}$...

Как я понимаю, хватит и $\sin 20x$, но я всё равно застываю в ужасе перед этой формулой.
Может кто посоветует, как мне с помощью пакета символьной математики (например, Maple), получить эту формулу? Как вообще заставить Maple искать какие-либо формулы? Например, я хочу получить общеизвестную формулу для $\sin (x+y)$ или (не знаю существует такая или нет) для $\sin^n x+\cos^n x$

[maxal]

Мапл не нужен. Используйте тождество Муавра для получения формулы для $\sin nx$.

[voroninv]

Знал я про Муавра, да забыл, что он здесь может пригодиться Ну там такой нехилый многочлен-то получается... Причём хорошо бы он был от одного $\sin x$, а он ещё и от $\cos x$, причём косинус в нечётных степенях, а как я понимаю нам нужен многочлен от одного синуса... Что-то никак не соображу, не ругайте, если сильно туплю

[ShMaxG]

\[ \sin 2007 = - \sin 27 \]

. (символ градуса опускаю, много раз писать лень).

Если

\[ \sin 27 \]

- рациональное число, то рациональными являются числа

\[ \cos 54,\cos 108 \]

, и, следовательно,

\[ \sin 18 \]

. Но легко получить, что

\[ \sin 18 = \frac{{\sqrt 5 - 1}} {4} \]

, со всеми вытекающими.

[Cave]

voroninv
В первой задаче обозначим $n = 2006$ и поделим второе число на первое, получим $\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \left(1 + \frac 1 n\right)^n \cdot\frac 1 n$, выражение в скобках меньше $e$ или, раскрыв по биному Ньютона, легко получить оценку, что оно меньше 3, поэтому частное меньше 1.

[ShMaxG]

Cave

А в девятом классе проходят бином Ньютона?

[Pyphagor]

ShMaxG писал(а):

А в девятом классе проходят бином Ньютона?

Ну не в десятом же его проходить!

[TOTAL]

Решение для 5-го класса:

$$\frac{(n+1)^{n}}{(n)^{n+1}}=\left(1-\frac{1}{n^2} \right)^n\frac{(n)^{n-1}}{(n-1)^{n}}.$$

Поэтому

$$\frac{2007^Х2006Ъ}{2006^{2007}}<\frac{4^3}{3^4}<1.$$

[voroninv]

ShMaxG писал(а):

Но легко получить, что

\[\sin 18 = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}\]

, со всеми вытекающими.

Кое-как вспомнил про золотой треугольник с углами 72, 72 и 36 градусов

Всем спасибо, предложенные решения довольно любопытны