Теорема Остроградского-Гаусса

[Azog]

Учебниками по мат. анализу можете хоть обкидатся, а вот доказательство из книжки Мищенко Фоменко как раз и является оптимальным и естественным.

[ewert]

Я лично этого доказательства не видал, однако же предлагаю решить одну задачку.

Рассмотрите два множества: первое -- тех, кому нужны когомологии и второе -- тех, кому нужна ф.О.-Г. А затем сравните мощности этих множеств.

[zoo]

Azog писал(а):

Учебниками по мат. анализу можете хоть обкидатся, а вот доказательство из книжки Мищенко Фоменко как раз и является оптимальным и естественным.

Ну и чем оно отличается от доказательства в учебниках по анализу? Те же интегралы , координатные окрестности, разложение единицы, кратные интегралы по стандартным областям. Что здесь такого оптимального? Стандартная техника, общее место.

[Azog]

ewert, ответ получил. Предлагаю и вам в ответ задачу.
Оценить сверху количество людей которые знают что такое интерал. Вспомнить сколько на свете живет различных людей.

И вторая вдогонку
оценить в рамках данного форума количество тем отличающихся принципиально от "памагите рэшытя квадратную уравнению!!"

После решения, отметим, что и форум на месте и математикой люди на удивление занимаются.. Так что ваша задача не вполне корректна.

zoo, мы с вами, боюсь, говорим на разных языках о разных вещах..

[ewert]

Azog в сообщении #165813 писал(а):

Так что ваша задача не вполне корректна.

Абсолютно корректна. Ибо я преподаю именно второму множеству (как правило). Поэтому в курсе, о чём речь.

[Azog]

Дальше что? Я написал не больше не меньше как то, что на мой взгляд(!) доказательство ее приводимое в учебниках м.а. - неестественно, а когомологическое - естественно. Не более.. Смысл дальнейших постов г-на zoo, от меня ускользнул, хотя я и пытался осознать.
Далее, Ваше сообщение я расценил как предложение спуститься с небес на землю ибо диф. геометрию кроме мат. факов нигде и не преподают. Я согласился но попросил Вас уточнить скольким людям математика вообще нужна. Последний Ваш пост - для меня загадка. Что Вы хотели им сказать, если не секрет?

[ewert]

да ничего особенного. Просто физиков (в частности, инженеров; ну или наоборот) -- в природе много больше, чем чистых математиков.

[zoo]

Azog в сообщении #165813 писал(а):

zoo, мы с вами, боюсь, говорим на разных языках о разных вещах..

а Вы ответьте на вопрос, который был Вам задан.

Azog в сообщении #165819 писал(а):

Смысл дальнейших постов г-на zoo, от меня ускользнул, хотя я и пытался осознать.

Хорошо, я повторю вопрос. Я просто прошу Вас объяснить чем принципиально доказательство общей формулы Стокса в цитированном Вами учебнике Мищенко Фоменко отличается от доказательства, например в учебнике по анализу Зорича или Л. Шварца, Вы ведь именно на этом настаиваете:

Azog в сообщении #165792 писал(а):

Учебниками по мат. анализу можете хоть обкидатся, а вот доказательство из книжки Мищенко Фоменко как раз и является оптимальным и естественным.

В чем состоит оптимальность и естественность у Мищенко Фоменко по сравнению с Зоричем или Шварцем?

[Azog]

1. Доказательство в книжке МФ короткое через диф. формы занимает 1 страницу. В книге Зорича, примерно тоже самое - также через диф. формы, однако для меня неясно какой смысл вводить их в 4м семестре мат.анализа, однако оставим его, и обратимся к книжке Рудина. В издании 66 года, на страницах 261-263можно обнаружить доказательство теоремы Стокса. Идейно - происходит тоже самое, однако для случая неких k-цепей, кои как я понимаю являются не чем иным как полиэдрами, или каким-то иным обобщением многообразий, впрочем книжка Рудина славится своими крайне общими формулировками.
Однако совершенно убойным является доказательство в фихтенгольце. Даже если отбросить его неимоверную систему ссылок, доказательство (жутко запутанное) занимает около десятка страниц странных выкладок, зато не использует дифф. форм.

Таким образом, можно углядеть 2 разных способа:
1. Через диф. формы, откуда следуют следствия для когомологий и становится понятно зачем она вообще нужна.
2. По фихтенгольцу: длинно, путанно зато на уровне табуретки. Псоеледнее оставляет ощущение очередной прикладной теоремы аля-сопромат годной только для вычисленный каких-то бессмысленных кратных интегралов.

Это по поводу восприятия и естественности.
Отмечу также, что ни то, ни другое доказательства не пригодны для рассказа их на 2 курсе. 1-е по причине того, что студентам (по себе знаю) не хватает культуры для восприятия данного результата, а равно и по причине того, что большая часть лекторов эту часть черезвычайно комкает и рассказывает из рук вон плохо.
2-е же доказательство в принципе не пригодно для того чтобы рассказывать его кому бы то ни было.

Надеюсь теперь я ответил на Ваш вопрос.

[zoo]

Azog в сообщении #165950 писал(а):

для меня неясно какой смысл вводить их в 4м семестре мат.анализа

смысл, видимо, состоит в том, что формула Стокса имеет важные приложения в дифференциальных уравнениях а через них в физике

Azog в сообщении #165950 писал(а):

для случая неких k-цепей

так поступают авторы желающие изначально выявлять двойственность между гомологиями и когомологиями, например так поступает Стернберг в своем учебнике по диф. геометрии

Azog в сообщении #165950 писал(а):

Однако совершенно убойным является доказательство в фихтенгольце

Это безнадежно устаревшая книжка, хотя и замечательная в своем роде, в серьезных курсах анализа она не используется

Azog в сообщении #165950 писал(а):

Отмечу также, что ни то, ни другое доказательства не пригодны для рассказа их на 2 курсе. 1-е по причине того, что студентам (по себе знаю) не хватает культуры для восприятия данного результата,

конечно восприятие сразу не приходит, но научить студентов понимать доказательство формулы Стокса, работать с диф. формами: дифференцировать, интегрировать сужать на различные многообразия -- это вполне возможно и второкурсников этому успешно учат и на мех-мате и в некоторых других московских вузах

Azog в сообщении #165950 писал(а):

большая часть лекторов эту часть черезвычайно комкает и рассказывает из рук вон плохо.

Мало ли плохих лекторов. Зорич рассказывает прекрасно.

[Azog]

Цитата:

смысл, видимо, состоит в том, что формула Стокса имеет важные приложения в дифференциальных уравнениях а через них в физике

Безусловно, однако толку если ее на курсе никто не понимает?

Цитата:

так поступают авторы желающие изначально выявлять двойственность между гомологиями и когомологиями, например так поступает Стернберг в своем учебнике по диф. геометрии

Возможно. Признаюсь, что с данной техникой я не знаком а посему ничего сказать по этому вопросу не смогу.

Фихтенгольц - является одной из наиболее понятных книг, если привыкнуть к его обозначениям. Многие вопросы по нему понять проще. И уж говорить об устаревших книгах по МА, которому и самому лет прямо скажем не мало..

Цитата:

конечно восприятие сразу не приходит, но научить студентов понимать доказательство формулы Стокса, работать с диф. формами: дифференцировать, интегрировать сужать на различные многообразия -- это вполне возможно и второкурсников этому успешно учат и на мех-мате и в некоторых других московских вузах

Как студент (уже далеко не 2 курса) мехмата могу сказать что учат этому абсолютно безуспешно. Причина проста, не хватает мат. культуры. Ее с трудом хватает на третьем курсе, когда формы рассказываются в подробностях, в то время как в курсе МА они рассказываются мимоходом.

Цитата:

Мало ли плохих лекторов. Зорич рассказывает прекрасно.

Он читал у меня мат. анализ после Архипова т.е. на втором курсе. Мне не нравится его манера рассказывать и понять чтолибо на его лекциях мне не удалось =(. Книга его неплоха, но УЧИТЬ МА с нуля, по ней невозможно, по причине изрядной перегруженности текста механикой и подобными вещами, а также потому что на мой вкус у него не хватает четкости: формулировка-доказательство. У него порой все вперемешку, а найти где что определяется порой тоже непросто.
На удивление учить азы МА проще по книжке Ильина (но это букварь скорее) и по Фихтенгольцу.
Собственно в пору подготовки я использовал в первую очередь последние 2 книги.
Надеюсь теперь мы пришли к ясности?