Теория вероятностей, разные задачи

[Nikita.bsu]

1) Доказать, что если функция распределения непрерывна, то она равномерно непрерывна на $R$.
2) Пусть $A$ и $B$ независимы,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, $P(A\Delta B) = p$
и $P(A \backslash B)<p$. Найти $P(A)$, $P(B)$ и $P(A \backslash B)$.
3) Отрезок [0,1] случайной точкой делится на 2 части, из которых выбирается одна. Пусть$\eta$ - длина выбранной части. Найти $P(\eta \leqslant x)$.

1) Если $F_\xi (x):M \subset R \to R$ и $M$ - компакт, то из теоремы Кантора вытекает требуемое, как бы так красиво сделать передельный переход из $M$ в $R$?

2) Во втором что-то никаких мыслей вообще

3) В третем я так понимаю надо рассмотреть случаи, когда $\eta < x$ и $\eta > x$ и посторить функцию распределения?

[ewert]

Nikita.bsu писал(а):

1) Если $F_\xi (x):M \subset R \to R$ и $M$ - компакт, то из теоремы Кантора вытекает требуемое, как бы так красиво сделать передельный переход из $M$ в $R$?

Попробуйте вывести нужное из равномерной непрерывности фунсции $F(\tg t)$ на промежутке $[-\pi/2;\;\pi/2]$.

[Brukvalub]

Nikita.bsu в сообщении #165616 писал(а):

1) Доказать, что если функция распределения непрерывна, то она равномерно непрерывна на $R$.

Проверим определение равномерной непрерывности. Пусть

\[\varepsilon > 0.\]

Выберем такое С>0, что при

\[ x < - C \Rightarrow 0 \le F(x) < \varepsilon \;;\;x > C \Rightarrow 0 \le 1 - F(x) < \varepsilon \]

. На отрезке

\[ [ - 2C\;,\;2C]\quad F(x)\]

равномерно непрерывна по т. Кантора, то есть

\[ \exists \delta _1 > 0:\forall x\;,\;t \in [ - 2C\;,\;2C],\;\left| {x - t} \right|\; < \delta _1 \Rightarrow \left| {F(x) - F(t)} \right| < \varepsilon \]

. Тогда, выбрав \delta = \min \{ \delta _1 \;,\;C\}, получаем:

\[ \forall x\;,\;t \in R:\;\left| {x - t} \right|\; < \delta \Rightarrow \left| {F(x) - F(t)} \right| < \varepsilon \]

[Nikita.bsu]

Brukvalub писал(а):

Nikita.bsu в сообщении #165616 писал(а):

1) Доказать, что если функция распределения непрерывна, то она равномерно непрерывна на $R$.

Проверим определение равномерной непрерывности. Пусть

\[\varepsilon > 0.\]

Выберем такое С>0, что при

\[ x < - C \Rightarrow 0 \le F(x) < \varepsilon \;;\;x > C \Rightarrow 0 \le 1 - F(x) < \varepsilon \]

. На отрезке

\[ [ - 2C\;,\;2C]\quad F(x)\]

равномерно непрерывна по т. Кантора, то есть

\[ \exists \delta _1 > 0:\forall x\;,\;t \in [ - 2C\;,\;2C],\;\left| {x - t} \right|\; < \delta _1 \Rightarrow \left| {F(x) - F(t)} \right| < \varepsilon \]

. Тогда, выбрав \delta = \min \{ \delta _1 \;,\;C\}, получаем:

\[ \forall x\;,\;t \in R:\;\left| {x - t} \right|\; < \delta \Rightarrow \left| {F(x) - F(t)} \right| < \varepsilon \]

Спасибо. Как мне кажется даже изящно.

Добавлено спустя 13 минут 14 секунд:

По поводу третье задачи
$P(\xi \leqslant x) = \left\{ \begin{gathered} 0,x < 0 \hfill \\ ?,x \in [0;1[ \hfill \\ 1,x > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

На месте вопроса мне хочется написать просто $x$, хотя возникает понятный вопрос: а при чем тут $\eta$?.. и тогда мне хочется написать $\eta x$

Добавлено спустя 6 минут 1 секунду:

По поводу второй задачки
$A\Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$ - симметрическая разность.
$p = P(A\Delta B) = P\left( {( A\backslash B) \cup (B\backslash A)} \right) = P(A\backslash B) + P(B\backslash A) - P\left( {( A\backslash B) \cap (B\backslash A)} \right)$ и что отсюда вытянуть ума не приложу

[ewert]

Хм. Т.к. $F(\tg t)$ по теореме Кантора равномерно непрерывна, по любому $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$ такое, что из $t_1,t_2\in(-\pi/2;\;\pi/2);\ |t_1-t_2|<\delta$ следует $|F(\tg t_1)-F(\tg t_2)|<\varepsilon$. Теперь берём произвольные $x_1,x_2\in\mathbb R$ такие, что $|x_1-x_2|<\delta$, и рассматриваем $t_1=\arctg x_1$, $t_2=\arctg x_2$. Тогда тем более $|t_1-t_2|<\delta$ (просто потому, что производная арктангенса не превосходит единицы). Следовательно, $|F(x_1)-F(x_2)|\equiv|F(\tg t_1)-F(\tg t_2)|<\varepsilon$...

Добавлено спустя 5 минут 25 секунд:

По поводу второй задачи. Независимость, по большому счёту, противоречит несовместности (т.е. такое сочетание возможно только тогда, когда одно из событий "почти невозможно"). Следовательно, ...

[Nikita.bsu]

ewert писал(а):

Хм. Т.к. $F(\tg t)$ по теореме Кантора равномерно непрерывна, по любому $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$ такое, что из $t_1,t_2\in(-\pi/2;\;\pi/2);\ |t_1-t_2|<\delta$ следует $|F(\tg t_1)-F(\tg t_2)|<\varepsilon$. Теперь берём произвольные $x_1,x_2\in\mathbb R$ такие, что $|x_1-x_2|<\delta$, и рассматриваем $t_1=\arctg x_1$, $t_2=\arctg x_2$. Тогда тем более $|t_1-t_2|<\delta$ (просто потому, что производная арктангенса не превосходит единицы). Следовательно, $|F(x_1)-F(x_2)|\equiv|F(\tg t_1)-F(\tg t_2)|<\varepsilon$...

А почему $F(\tg t)$ равномерно непрывна?

Во втором подправил условие, и что с третьей?

[ewert]

Nikita.bsu в сообщении #165790 писал(а):

А почему равномерно непрывна?

а потому, что она просто непрерывна, а на концах -- доопределяется по непрерывности плюс монотонности

[Nikita.bsu]

ewert писал(а):

Nikita.bsu в сообщении #165790 писал(а):

А почему равномерно непрывна?

а потому, что она просто непрерывна, а на концах -- доопределяется по непрерывности плюс монотонности

Этими всеми свойстами обладает и функция распределения вот я и хочу понять откуда это факт вытекает

[ewert]

не понял проблемы. Вы лучше спросите, зачем понадобилась замена с тангенсом (или чем-то подобным). Так вот -- именно для того, чтоб после замены функция оказалась непрерывной именно на компакте.

[Nikita.bsu]

Я наверное вас просто не понимаю ewert. Нам известно что функция непрерывна на $R$, так она будет непрерывна и на любом компакте из этого множества. Меня интересует другой вопрос: почему функция $F(\tg t)$ равномерно непрерывна?

[Henrylee]

Nikita.bsu писал(а):

По поводу третье задачи
$P(\xi \leqslant x) = \left\{ \begin{gathered} 0,x < 0 \hfill \\ ?,x \in [0;1[ \hfill \\ 1,x > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

На месте вопроса мне хочется написать просто $x$, хотя возникает понятный вопрос: а при чем тут $\eta$?.. и тогда мне хочется написать $\eta x$

А что это за $\xi$ вдруг появилась? Если на место $\xi$ поставить $\eta$, то на месте знака вопроса будет $x$. Чтобы это обосновать, рассмотрите события, состоящие в выборе отрезка после деления. Они не зависят от $\xi$ и имеют какие-то неизвестные вероятности, на ответ не влияющие.

[ewert]

Nikita.bsu писал(а):

Я наверное вас просто не понимаю ewert. Нам известно что функция непрерывна на $R$, так она будет непрерывна и на любом компакте из этого множества. Меня интересует другой вопрос: почему функция $F(\tg t)$ равномерно непрерывна?

Потому, что она непрерывна уже на компакте $[-\pi/2;\;\pi/2]$ -- и, следовательно, по теореме Кантора равномерно непрерывна при всех аргументах. А замена $x=\tg t$ эту равномерность лишь усиливает.