Теорема Пифагора, да не совсем.

[Побережный Александр]

Как решить уравнение в натуральных числах?

$$a^2+b^2=c^2+1;$$

[Феликс Шмидель]

Последовательность чисел вида $a^2-1$ это 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, и т.д. Если число этого вида раскладывается в произведение двух множителей одинаковой чётности, отличных от a-1 и a+1, то каждое такое разложение даёт искомые b и с.
Например, a=8, 63=3*21, значит с=(21+3)/2=12, b=(21-3)/2=9.

[Батороев]

Попробуйте разобраться, как получена, например, такая ветвь решений?
При четных $ a $:
$ c = \dfrac {a^2}{2} $; $ b = \dfrac {a^2-2}{2} $

При нечетных $ a $:
$ c = \dfrac{a^2+3}{4} $; $ b = \dfrac{a^2-5}{4} $