СРОЧНО. Вычислить выражение рекуррентным уравнением

[slimsaw]

Помогите пожайлуйста! Нужно записать рекуррентное уравнение для следующей формулы Рамануджана и вычислить его.
$$\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + }...}}}}
Мне кажется, что рекуррентное уравнение данного выражения будет выглядеть так:
X_k=\sqrt{1+(k+1)X_{k+1}}
Что эквивалентно
X_{k+1}=\frac{{X_k}^2 - 1}{k + 1}
А теперь главный вопрос: как вычислить значение этого выражения?
Ответ заранее известен: 3.

[Imperator]

http://dxdy.ru/topic3498.html#27599

[slimsaw]

Imperator писал(а):

http://dxdy.ru/topic3498.html#27599

Про такой способ решения я уже читал. Но мне нужно вычислить значение выражения именно с помощью рекуррентного уравнения...

[Архипов]

slimsaw писал(а):

Помогите пожайлуйста! Нужно записать рекуррентное уравнение для следующей формулы Рамануджана и вычислить его.
$$\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + }...}}}}
Мне кажется, что рекуррентное уравнение данного выражения будет выглядеть так:
X_k=\sqrt{1+(k+1)X_{k+1}}
Что эквивалентно
X_{k+1}=\frac{{X_k}^2 - 1}{k + 1}
А теперь главный вопрос: как вычислить значение этого выражения?
Ответ заранее известен: 3.

Руками - трудно. Калькултор нужен.
В Экселе вводим в столбик А числа от 10 до -2
В ячейку В2 вводим рекурентную формулу $=(1+A2*B1)^0^,^5$ и размножаем столбик В вниз на десяток строк. Ответ приближается к 3.
А значения в ячейках отличаются от n на 1 (при больших n). Формулу можно и ниже гнать, до значения А1=-1, тогда формула даст ответ 0.
А зачем ответ-то нужен? Формула, наверное, для других целей нужна (плавное приближение к любому натуралному числу, начертить "горку" для катания на санках....)

[slimsaw]

Архипов писал(а):

Руками - трудно. Калькултор нужен.

За помощь спасибо, но это опять не то, что нужно. Нужно вычислить значение аналитически, без всяких программ. Кто-нибудь умеет решать нелинейные рекуррентные уравнения?

[ewert]

Начните с того, что Ваше рекуррентное соотношение -- неверно.

[slimsaw]

ewert писал(а):

Начните с того, что Ваше рекуррентное соотношение -- неверно.

Почему же неверно? Если вместо k подставить конкретные значения, то всё верно

[ewert]

А что такое $X_k$?

[slimsaw]

Это часть исходного выражения. Найти надо X_1

[ewert]

Какая именно часть?