задача по матану

[ilyaraz]

Видимо это несложная задача, но несколько дней не удается решить...
Пусть b_n > 0, b_n невозрастает, n b_n \to 0, верно ли, что
n b_n - последовательность ограниченной вариации (то есть ряд \sum \limits_{n=1}^{\infty}|n b_n - (n + 1) b_{n+1}| сходится)?

[Хорхе]

Конечно же, это не так.
Схематично:
1. Пусть мы уже построили $b_1,\dots,b_{n_k}$. (Что такое $n_k$, будет понятно далее).
2. Положим $b_{n_k+1} = \min(1/2k,b_{n_k})=a_k$.
3. Последующие члены $b_{n_k+i}$ будут равными $a_k$ до тех пор, пока у нас не приключится $(n_k+i)a_k >1/k$, тогда сразу положим $n_{k+1} = n_k + i$ и продолжим с пункта 1.