четырехугольник из палочек

[DmS]

Даны 4 палочки и известно, что из них можно составить четырехугольник с перпендикулярными сторонами. Докажите, что из них можно составить четырехугольник с двумя прямыми углами.

[sergey1]

1, 100, 51, 51. по-моему, контрпример.

[Батороев]

Если две самые длинные палочки представить, как стороны некого остроугольного треугольника, то оставшиеся две палочки будут элементами высот этого треугольника, проведенных со "свободных" концов первых палочек до точки пересечения высот.

[sergey1]

2 Батороев
И что, это проходит для указанного набора сторон?
Не вижу, подробнее, пожалуйста.

[ddn]

Если известен порядок расположения палочек на периметре 4-угольника - это всего две возможных комбинации, скажем:
$a$, $b$, $c$, $d$ (положительные длины сторон)
то задание угла между двумя соседними сторонами, задает все остальные углы - то есть получить второй прямой угол, если его нет, можно только изменив порядок расположения сторон.
Значит, это возможно только при определенном соотношении сторон.

Действительно, если прямой угол есть между $a$ и $b$, то третья сторона построенного на них тр-ка $\sqrt{a^2+b^2}$, и она же третья сторона тр-ка, построенного на $c$, $d$ - что возможно, если: $|c-d|<\sqrt{a^2+b^2}<c+d$.
Углы тр-ков задаются его сторонами, значит углы 4-угольника задаются длинами сторон (с данным порядком) и одним из углов.

Если прямой угол между $c$ и $d$, то должно быть $a^2+b^2=c^2+d^2$;
Если между, скажем, $b$ и $c$, то должно быть $a^2+(b-c)^2=d^2$.
Одно из этих равенств, для некоторой перестановки сторон, должно выполняться при двух прямых углах.

В то время как при одном прямом угле, для некоторой перестановки сторон должны выполняться лишь неравенства:
$(c-d)^2<a^2+b^2<(c+d)^2$.

[TOTAL]

В четырехугольнике из палочек 3, 3, 3, 4 есть один прямой угол. Как сделать два?

[Батороев]

Необходимо подумать, в каких четырехугольниках стороны могут быть перпендикулярны друг к другу?
Во-первых - квадрат/прямоугольник. Для них утверждение задачи - верное.
Во-вторых, четырехугольник с перпендикулярными смежными сторонами. Для них также утверждение верно, т.к. имеем два прямых угла.

Остаются четырехугольники с попарно перпендикулярными противоположными сторонами.
Как они могут выглядеть?
Для этого возьмем любой четырехугольник второго вида, т.е. с перпендикулярными смежными сторонами, выберем две стороны, превосходящие в сумме две оставшиеся.
Затем две оставшиеся стороны отсоединим и поменяем местами друг с другом, направив перпендикулярно первым попарно противоположным. Если теперь две первые соединить еще одной "запасной" палочкой, то получим треугольник с укороченными (до точки пересечения) высотами.
Мы проделали путь, обратный решаемой задаче, но из-за этого ее суть не поменялась.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

TOTAL писал(а):

В четырехугольнике из палочек 3, 3, 3, 4 есть один прямой угол. Как сделать два?

Я понял задание, как то, что каждая палочка перпендикулярна какой-либо другой.