мощность

[Зося]

не могу решить следующие задачи: доказать:
1)мно-во монотонных последовательностей цифр счетно
2)объединение бесконечного мн-ва и не более чем счетного мн-ва имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное мн-во
3)мн-во алгебраичеких чисел счетно
4)объединение счетного числа мн-в мощности континуума имеет мощность континуума

[Brukvalub]

Зося в сообщении #163893 писал(а):

1)мно-во монотонных последовательностей цифр счетно

Для начала нужно понять, о каких последовательностях идет речь - о конечных?

Зося в сообщении #163893 писал(а):

2)объединение бесконечного мн-ва и не более чем счетного мн-ва имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное мн-во

Используйте тот факт, что во всяком бесконечном мн-ве есть счетное подмножество и стройте биекцию.

Зося в сообщении #163893 писал(а):

3)мн-во алгебраичеких чисел счетно

Достаточно перенумеровать мн-во всех многочленов с целыми коэффициентами, поскольку каждый из них порождает конечное число алгебраических чисел.

Зося в сообщении #163893 писал(а):

4)объединение счетного числа мн-в мощности континуума имеет мощность континуума

Достаточно доказать континуальность множества всех последовательностей вещ. чисел, а это - нетрудно, еще может помочь т. Кантора - Бернштейна.

[Зося]

Про алгебраические числа - вроде понятно.
Про монотонную последовательность - насколько я понимаю бесконечна

[Brukvalub]

Зося в сообщении #163900 писал(а):

Про монотонную последовательность - насколько я понимаю бесконечна

Приведите пример бесконечной монотонной последовательности цифр.

[Зося]

Ну, может же последовательность состять из бесконечного числа цифр.

[Brukvalub]

Зося в сообщении #163902 писал(а):

Ну, может же последовательность состять из бесконечного числа цифр.

Не подменяйте ответ на мой вопрос общефилософскими рассуждениями. Приведите пример.

[Зося]

Допустим, последовательность конечна. Мне не понятен сам принцип док-ва.

[Brukvalub]

Зося в сообщении #163904 писал(а):

Допустим, последовательность конечна.

Все конечные последовательности цифр легко перенумеровать, поскольку последовательностей фиксированной длины - конечное число.

[Зося]

т.е по вашим рассуждениям получается что все мн-во монотонных последовательностей цифр можно представить как счетное (или конечное?) мн-во конечных мн-в. Но, как доказать, что мн-во таких последовательностей счетно (конечно?)?

[AGu]

Brukvalub писал(а):

Зося в сообщении #163900 писал(а):

Про монотонную последовательность - насколько я понимаю бесконечна

Приведите пример бесконечной монотонной последовательности цифр.

Скорее всего, здесь имеется в виду нестрогая монотонность: $x_n\leqslant x_{n+1}$ для всех $n\in\mathbb N$ или $x_n\geqslant x_{n+1}$ для всех $n\in\mathbb N$. Тогда всякая монотонная (бесконечная) последовательность цифр устанавливается, что сводит задачу к рассмотрению конечных последовательностей (кортежей) цифр.

[Зося]

Конечно, не строгая

[ewert]

Зося в сообщении #163920 писал(а):

т.е по вашим рассуждениям получается что все мн-во монотонных последовательностей цифр можно представить как счетное (или конечное?) мн-во конечных мн-в. Но, как доказать, что мн-во таких последовательностей счетно (конечно?)?

Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств -- всегда не более чем счётно

[Зося]

Не очень понятно, почему мн-во таких последовательностей не более чем счетно или это, так сказать, по определению (типа "очевидно")

[AGu]

Зося писал(а):

Не очень понятно, почему мн-во таких последовательностей не более чем счетно или это, так сказать, по определению (типа "очевидно")

Разбейте множество всех кортежей цифр на подмножества по длине этих кортежей.

[ewert]

Как уже было метко замечено, каждая такая последовательность фактически конечна. Разбейте все последовательности на классы $A_n$, каждый из которых включает в себя все последовательности, стабилизирующиеся начиная с ровно $n$-ного члена.

(дубль, аднака)