Функциональное уравнение (eng)

[sasa]

Let $ {\mathcal F} $ be the set of all continuous functions $ f:[0,1]\to [0,1] $ with the properties :
i) $ \int\limits_{0}^{1} \left|f(x)\right|^n \; dx =(n-1) \int\limits_{0}^{1} \left|f(x)\right|^{n-2} \; dx \; \; \; ,\; \; \forall n \in \{2,3,...\}\; ; $
ii) $ \int\limits_{0}^{1} f(x) \; dx \ne 0\; . $

Find $ \; \int\limits_{0}^{1} f(x) \; dx \; \; ,\; \; \forall f \in {\mathcal F} \; . $

[Руст]

Имеем $ \int\limits_{0}^{1} t^n dx =(n-1) \int\limits_{0}^{1} t^{n-2} \; dx , \ x=\sqrt{\frac {2}{\pi}} \int\limits_{0}^{t} e^{-y^2/2} dy , t=f(x) \ \forall n \in \{2,3,...\}\; ; $
Достаточно длинными рассуждениями можно показать, что это единственное решение функционального уравнения. Соответственно получаем:
$ \int\limits_{0}^{1} t dx=\sqrt{\frac {2}{\pi}}$.

[maxal]

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=70061

[Руст]

А там совершенно другая итерация, при котором функция получается ограниченной. А в этом случае легко доказать, что функция не ограничена. Вначале я выяснил порядок стремления к бесконечности, а потом уже нашёл удобную замену, аппроксимирующую такое стремление. Доказать, что функция f(x) именно это в этом случае (когда она не ограничена) существенно сложнее.