Дифференциальное уравнение

[bubu gaga]

$$ u''(x) \; + \; a \, u'(x) \; = \; 0 $$

Подскажите пожалуйста как называются такие дифференциальные уравнения и как их решают. Спасибо!

[mkot]

Если $a=\mathrm{const}$, то такое уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Такие уравнения решаются составлением характеристического уравнения. И записи
решения в зависимости от того, какие получились корни х. у.

См., например, Сборник зада по дифференциальным уравнениям Филиппова.

Можно ещё понизить порядок данного уравнения.

[bubu gaga]

Понятно, спасибо! А если такое уравнение

$$ x \, u''(x) \; + \; a \, u'(x) \; = \; 0 $$

, где $a$ - константа.

[ewert]

зачем константа? Это -- в любом случае линейное ДУ второго порядка, и после понижения порядка получаем линейное уравнение первого порядка. А с учётом однородности -- попросту уравнение с разделяющимися переменными.

[bubu gaga]

$$ \frac{d}{dx} \, \ln u'(x) \; = \; -\frac{a}{x} $$

$$ \ln u'(x) \; = \; -a \, \ln |x| + C $$

$$ u'(x) \; = \; C_1 \, |x|^{-a} $$

$$ u(x) \; = \; C_1 \, \frac{ |x|^{1 - a}}{1 - a} \; + \; C_2 $$

Сошлось вроде. Спасибо!