Категорное произведение

[id]

Не могу сделать стандартное упражнение по "категорному" функциональному анализу, конкретнее - произведение (Само упр. см Хелемский "Лекции по функциональному анализу", 0.6.1):

Пусть $(X,\{\pi_\nu\})$ - произведение семейства $X_\nu, \nu \in \Lambda$ и пусть для некоторого $\mu \in \Lambda$ множество $h_{\mathcal{K}}(X_\mu,X_\nu)$ непусто $\forall \nu \in \Lambda$. Тогда $\pi_\mu$ -ретракция.

Думаю, достаточно будет рассмотреть случай произведения двух объектов категории ${\mathcal{K}}$, общий метод станет понятен. Поэтому перефразирую задачу для двух объектов $X_1,X_2 \in {\mathcal{K}}$:
Для $X_1,X_2 \in {\mathcal{K}}$ произведение - это такой объект $X_1 \times X_2$ вместе с морфизмами $\pi_k : X_1 \times X_2 \to X_{k}$, что для любого объекта $Y \in {\mathcal{K}}$ и любых морфизмов $\varphi_{k}: Y \to X_{k} $ существует единственный морфизм $\psi: Y \to X_1 \times X_2$, что диаграмма ниже (без пунктиров) коммутативна.
Известно, что $\exists \tau \in h_{\mathcal{K}}(X_1,X_2)$ (хотя я так и не понял, останется ли с ним диаграмма коммутативной? Кажется, не обязательно ). Нужно доказать, что $\exists \pi_r: X_1 \to X_1 \times X_2, \pi_1\pi_r = 1_{X_1}$

$$ \xymatrix{ \\ X_1 \ar@/^1pc/@{-->}[rr]^{\tau \in h_{\mathcal{K}}(X_1,X_2)} & {X_1 \times X_2} \ar[l]_{{\pi}_1} \ar[r]_{{\pi}_2} & X_2 \\ & Y \ar[lu]_{{\varphi}_1} \ar[ru]_{{\varphi}_2} \ar[u]_{{\psi}} } $$

P.S.

Пока изучал как набивать эту коммутативную диаграмму, пришла вроде мысль - т.к. $Y$ любое можно взять, пусть $Y = X_1. \varphi_1 = 1_{X_1}, \varphi_2 = \tau$, что как раз обобщается на случай произвольного произведения. Верна ли идея?