Доказать композиционную устойчивость биноминального закона

[mozilla]

У меня есть такая задача:

Доказать композиционную устойчивость биноминального закона при фиксированном р.

Учусь дистанционно, лекции бездарные, ничего из них не понять. Подскажите, что кроется за этим выражением - композиционная устойчивость? И еще вопрос - разве в биноминальном законе вероятность не постоянная?

[--mS--]

Речь идёт ровно о следующем утверждении: если случайные величины $X$ и $Y$ независимы и имеют биномиальные распределения с одним и тем же $p$: $B(n,p)$ и $B(m,p)$ соответственно, то их сумма тоже имеет биномиальное распределение $B(n+m,p)$.

[ewert]

А что тут, собственно, доказывать? Величина X -- это количество успехов в серии из n испытаний, Y -- количество успехов в серии из m испытаний. Соответственно, X+Y -- просто по определению есть количество успехов в объединённой серии из n+m испытаний.

[--mS--]

ewert писал(а):

А что тут, собственно, доказывать? Величина X -- это количество успехов в серии из n испытаний, Y -- количество успехов в серии из m испытаний. Соответственно, X+Y -- просто по определению есть количество успехов в объединённой серии из n+m испытаний.

Для заочника пойдёт. А для математика - никак. Утверждение о том, что если дана случайная величина $X$ с биномиальным распределением $B(n.p)$, то найдутся $n$ независимых бернуллиевских случайных величин $X_1,\ldots,X_n$ таких, что их сумма $X_1+\ldots+X_n$ равна $X$, вообще говоря, неверно.
Именно это утверждение подразумевается Вами под "$X$ - количество успехов в $n$ испытаниях". Случайная величина $X$ совершенно не обязана быть задана на вероятностном пространстве, связанном со схемой Бернулли.

[ewert]

Это какая-то ловля блох. Доказываемое утверждение никак не связано с конкретной реализацией случайной величины (с конкретным вероятностным пространством). Речь -- только о законе распределения некоторого случайного вектора. И если этот закон может быть получен (в частности) как результат анализа двух независимых схем Бернулли -- чего ещё желать?...

[--mS--]

Вот видите, как много требуется ещё слов: что распределение случайного вектора полностью определяется распределением компонент и, в свою очередь, определяет распределение суммы, что это распределение такое же, как у двух "количеств успехов" в схемах Бернулли. Ваше высказывание станет однозначно корректным, если вместо "Величина X -- это количество успехов в серии из n испытаний" написать "Величина X распределена так же, как количество успехов в серии из n испытаний".

[ewert]

дык это ж просто подразумевается

[--mS--]

Студентами? На мой взгляд, весьма редко. Гораздо чаще можно увидеть следующее, например, рассуждение (чистый оффтоп с моей стороны, но, я надеюсь, автор топика законно удовлетворился Вашим рецептом доказательства этой самой "композиционной устойчивости", за оффтоп прошу прощения):

Покажем, что для последовательности с.в. $X \sim B(n,p)$ имеет место сходимость $X/n \to p$ п.н. Поскольку $X$ есть число успехов в $n$ испытаниях схемы Бернулли, то $X = S_n$ - сумма независимых бернуллиевских с.в. с параметром p, и по УЗБЧ $X/n = S_n/n \to p$ п.н.

Всё так хорошо, а факт, вообще говоря, неверный "доказали".

[ewert]

--mS-- в сообщении #163403 писал(а):

Всё так хорошо, а факт, вообще говоря, неверный "доказали".

А контрпример?...

(Я надеюсь, что волна заменяет слова "распределённых по закону". И ещё надеюсь, что "сходимость почти наверное" означает "сходимость по вероятности". И ещё -- тоже извиняюсь за оффтопик.)

[--mS--]

Сходимость почти наверное - это отнюдь не сходимость по вероятности: $X_n \to X$ п.н., если $\mathsf P\{X_n \to X\} = 1$. Для сходимости по вероятности-то всё очевидно.
Тильда - да, в точности "распределённых по закону".
Ну, вру, конечно. Прошу прощения. Сходится $X/n$ и почти наверное, довольно просто проверяется: т.к. ряд из вероятностей $\mathsf P(|X/n - p| > \varepsilon)$ сходится при всяком $\varepsilon > 0$. Но изначальное рассуждение от этого верным не становится.

[ewert]

Да, и впрямь это разные сходимости. Дело в том, что для меня закон больших чисел связывается именно со сходимостью по вероятности; да оно и практически гораздо осмысленнее, чем какая-то абстрактная сходимость почти всюду.

--mS-- в сообщении #163424 писал(а):

Сходится $X/n$ и почти наверное, довольно просто проверяется:

Да, это было бы совсем просто, но только если бы сама постановка задачи имела смысл, т.е. если бы элементы последовательности были заданы на одном и том же вероятностном пространстве. А какое это имеет отношение к последовательности биномиальных распределений?

Т.е. приведённое Вами доказательство никак нельзя назвать неверным. За бессмысленностью самого утаерждения.

[--mS--]

Обычно употребляя термин "последовательность с.в.", подразумевают, что они заданы на одном в.п.

[ewert]

Но далеко не всегда, формальной необходимости в этом, вообще говоря, нет. Однако: если хочется говорить о сходимости именно почти всюду -- тут да, тут уж деваться некуда.