Перпендикулярность вектора и плоскости

[Мироника]

Задача:
Из одной тоски проведены три некомпланарных вектора а, b и с. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору axb+bxc+cxa
Записать уравнение плоскости и преобразовать данный вектор я могу. Меня интересует условие при котором плоскость перпендикулярна вектору. Помогите, пожалуйста, разобраться

[aet]

По определению, плоскость перпендикулярна вектору, если скалярное произведение этого вектора с любым вектором на плоскрсти равно нулю.

Если Вы уже нашли уравнение нужной Вам плоскости, то заметьте, что само оно (уравнение) записывается как скалярное произведение нормального (перпендикурярного) к плоскости вектора, и задача окажется очень простой.

[Мироника]

aet в сообщении #163000 писал(а):

оно (уравнение) записывается как скалярное произведение нормального (перпендикурярного) к плоскости вектора

Вот здесь я что-то не догоняю Можно поподробнее

[Someone]

$\vec n(\vec r-\vec r_0)=0$

[Мироника]

Всё, я разобралась, но мне пришлось все расчеты производить перейдя к координатной фоме векторов. Может можно более просто?

[ewert]

Можно. Например, вектор $\vec a-\vec b$ параллелен плоскости. Для него

$(\vec a-\vec b)\cdot[\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec a]=\vec a\cdot[\vec b\times\vec c]-\vec b\cdot[\vec c\times\vec a]$

(остальные четыре слагаемые равны нулю, т.к. в каждом -- по два одинаковых сомножителя). Последние два слагаемых тоже сокращаются по правилу циклической перестановки.

Т.е. вектор $\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec c+\vec c\times\vec a$ ортогонален вектору $\vec a-\vec b$, который параллелен плоскости. По тем же причинам он ортогонален и вектору $\vec b-\vec c$, но тогда он ортогонален и всей плоскости.