метрич пространства

[zoo]

Ну очень простая задача.

Пусть $(X,d)$ --свзное метрическое пространство; отображение $f:X\to X$ непрерывное и
$\inf_{x\ne y}\frac{d(f(x),f(y))}{ d(x,y)}>0$. Докаазать, что $f$ -- отображение "на".

[id]

Сначала, судя по всему, надо записать, что первоначальное условие эквивалентно тому, что $\forall x\neq y: d(f(x),f(y)) \geqslant kd(x,y), k>0$. Далее - что это инъекция, и, т.к. $f^{-1}$ на $Im(X)$ непрерывно ( исходя из того же условия ), вообще гомеорфизм между $X$ и $Im(X)$.
А вот тут что-то не соображу - получается же, что тогда $Im(X)$ будет открыто-замкнутым, что противоречит связанности, или нет?

Add:
Прочтя нижеследующий пост, понял, что в топологии $X$ таки не будет открыто-замкнутым.

[Someone]

А если мы возьмём $X=[0,1]$ и определим отображение $f\colon X\to X$ формулой $fx=\frac x2$ при $x\in X$?

[zoo]

ууупсс
идея была такая:
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство; непрерывное отображение $f:X\to X$ имеет неподвижную точку и
$\inf_{x\ne y}\frac{d(f(x),f(y))}{ d(x,y)}>1$. Докаазать, что $f$ -- отображение "на". Вот верно ли это или нет еще надо проверить

[id]

zoo
$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}: z \to 2z$ с наследованной топологией не подойдет в к-ве контрпримера?

[zoo]

ну значит с этим надо завязывать

[Someone]

Легко и связный пример придумать. Возьмём на плоскости $\mathbb R^2$ множество $X=\{(x,y):x\geqslant|y|\}$, а отображение $f\colon X\to X$ определим формулой $f(x,y)=(3x,2y)$.