2008 отрезков

[Sonic86]

Я не думаю, что сложная задача, но все же:

На плоскости расположено 2008 отрезков суммарной длины 27. докажите, что существует прямая L ,такая, что сумма длин проекций заданных отрезков на прямую L, меньше, чем 18.

Я ее решал через лес, хотелось бы посмотреть на более простое решение.

[worm2]

Для меня проще всего рассмотреть всевозможные углы наклона прямой L ($\varphi$ от 0 до $\pi$), выписать формулу суммы длин проекций для этого угла, и проинтегрировать по $\varphi$. Получится, что среднеинтегральное значение суммы длин проекций не превышает $54/\pi$, а значит, при каком-то $\varphi$ длина проекции не превысит этой величины.

[ИСН]

Чему равна длина проекции одного отрезка, мы знаем: это какой-то там косинус (ну, модуль косинуса). Его среднее значение на периоде - $2/\pi$. А дальше - дроби его, не дроби, один хрен, среднее будет то же. Значит, хоть где-то есть столько или меньше.
Voilà!

Добавлено спустя 21 секунду:

Аппередили. Voici.

[worm2]

Кстати, можно реализовать подобную схему, ограничившись школьной геометрией. Нужно заметить, что любая проекция правильного шестиугольника не превосходит его удвоенной стороны. Тогда как раз получится требуемая в задаче оценка.

Добавлено спустя 13 минут 45 секунд:

Блин, ИСН, мне даже совестно. Вы 1000-е сообщение пишете, а я тут под ногами путаюсь

[Sonic86]

Ух ты! ИСН! Теперь я понял! Как-то сразу в голову не пришло среднее значение.

Я решал 2-я способами, много атрибутики, но смысл оказывается именно такой

[xaxa3217]

решаю как школьник-программист (без интегралов и средних значений, использую только сортировку ):
очевидно, что параллельный перенос отрезков не изменит суммы проекций на заданную прямую. перенесем все отрезки одним концом в точку O(0,0) (считаем что декартова система в плоскости задана) так, чтобы второй конец лежал в верхней полуплоскости. таким образом каждый отрезок, как радиус-вектор, будет образовывать с OX угол от 0 до $\pi$. совершим обход отрезков от наименьшего угла к наибольшему (справа-налево), и каждое начало последующего отрезка будем совмещать параллельным переносом с концом текущего, в итоге у нас получится некоторая ломанная $S$. соединим конец $S$ с началом - отрезком $a$, тогда у нас, очевидно, образуется выпуклый многоугольник (иначе нашлись бы последовательные отрезки у которых отношение $>=$ между углами нарушалось). теперь построим для каждой точки ломанной центрально-симметричную ей, относительно середины $a$ - точки $C$. теперь всегда можно считать, что прямая $L$ проходит через $C$. забудем про $a$, у нас остается выпуклый и симметричный относительно $C$ многоугольник, в следствие этого, сумма проекций всех отрезков (теперь мы работаем с новым многоугольником!) на $L$ равна удвоенному расстоянию между точками пересечения $L$ и многоугольника. действительно, прямая $L$ разбивает плоскость на две полуплоскости, в каждой полуплоскости все проекции отрезков оставшийся части многоугольника образуют, в силу выпуклости, не пересекающийся набор отрезков на $L$ которые в объединении дают весь отрезок прямой $L$ заключенный в многоугольнике.
возвращаемся к данным условиям задачи, от противного, пусть существует такое расположение отрезков, а соотв. и ломанной $S$, что сумма проекций отрезков на любую прямую $L$ дает больше либо 18. строим по описанным выше правилам многоугольник, и получаем, что в него можно поместить окружность радиуса $\frac{18}{2}$, соотв. ее длина меньше либо равна периметру многоугольника (раз они оба выпуклые), то есть сумма длин данных отрезков больше либо равна $2*\pi*\frac{18}{2}*\frac{1}{2} = 9*\pi > 27$ => противоречие.

[Sonic86]

Во!
Я так же решал!!!
Хотя я сначала решил перебрать все прямые из одной точки с одинаковыми углами между смежными, но забил. Хотя это тоже приводит к среднему.