Блочно диагональная окаймленная матрица.

[Ti]

Надо решить СЛАУ , матрица коэффициентов которой имеет блочно-диагональный с окаймлением вид. Каким образом ее можно преобразовать, для применения метода Гаусса?

[TOTAL]

Ti писал(а):

Надо решить СЛАУ , матрица коэффициентов которой имеет блочно-диагональный с окаймлением вид. Каким образом ее можно преобразовать, для применения метода Гаусса?

Какая матрица, объясните словами.

[Ti]

Блочно-диагональная (квазидиагональная) матрица:

У блочно-диагональной матрицы, все подматрицы, кроме расположенных на главной диагонали являются нулевыми.

Матрица выглядит, так :



[A1 0 0 ...0]
[0 A2 0 ...0]
[................]
[0 0 0...An]



где каждый элемент Ak является квадратной ненулевой матрицей. Определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.


Окаймленная матрица A(n):

[A(n-1) U(n)]
[ V(n) a(nn)]

где A(n-1) - матрица порядка n-1;
a(nn) - число;
U(n) - матрица-столбец;

[a(1,n) ]
[a(2,n) ]
[ ... ]
[a(n-1,n)]

V(n) - матрица-строка;

[a(n,1) a(n,2) ... a(n,n-1)]

[TOTAL]

Если бы матрица была без окаймления, смогли бы решить?

[Ti]

да, если бы она была просто квазидиагональная, то процесс решения свелся бы к простому применению метода Гаусса к квадратным подматрицам.

[TOTAL]

1) Из первых $n-1$ уравнений найдите вектор $\vec{y}$, положив $y_n=0$ (матрица без окаймления)
2) Из первых $n-1$ уравнений найдите вектор $\vec{z}$, положив $z_n=1$ при нулевой правой части исходной системы (матрица без окаймления)
3) Решение исходной системы запишите как $\vec{x}=\vec{y}+t\vec{z}$. Коэффициент $t$ найдите из последнего уравнения исходной системы

[Ti]

Спасибо, попробую.

[Ti]

А если в этой системе Ax=b, b <> 0, в этом случае как поступить?

[TOTAL]

Ti писал(а):

А если в этой системе Ax=b, b <> 0, в этом случае как поступить?

1) $A\vec{y}=\vec{b}, \; y_n=0$ (без последнего уравнения)
2) $A\vec{z}=\vec{0}, \; z_n=1$ (без последнего уравнения)
3) $\vec{x}=\vec{y}+ t \vec{z}$ подставляете в последнее уравнение и находите $t$

Что именно здесь непонятно?

[Ti]

Все, ок.