Делимость на 24

[Xaliuss]

Докажем более общий факт: $n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\cdot\ldots\cdot (n+k-1)\,\vdots\,k!$

По индукции. Для $k=1$ факт верен.

Пусть факт верен при $k=m$, то есть для $\forall n $n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\cdot\ldots\cdot (n+m-1)\,\vdots\,m!$

Тогда для $k=m+1$ опять же по индукции. Для $n=0$ все верно. Пусть для $n=l$ факт верен: $l\cdot (l+1)\cdot (l+2)\cdot (l+3)\cdot\ldots\cdot (l+m)\,\vdots\,(m+1)!$. Тогда при $n=l+1$

$$(l+1)\cdot (l+2)\cdot (l+3)\cdot (l+3)\cdot\ldots\cdot (l+m+1)=l\cdot (l+1)\cdot (l+2)\cdot (l+3)\cdot\ldots\cdot (l+m)+(l+1)\cdot (l+2)\cdot (l+3)\cdot\ldots\cdot (l+m)\cdot (m+1)$$

Первое слагаемое делится на $(m+1)!$ по второму предположению индукции, а второе произведение двух множителей, первый из которых делится на $m!$ по первому предположению индукции, а второй на $(m+1)$, итого есть делимость на $(m+1)!$ и второго слагаемого. По принципу матиндукции утверждение доказано.