Polynom degree 5

[sasa]

Assume that $ x^5-10x^3+Cx^2+Dx+E=0 $ has only real roots. Prove or disprove :
1) At least one root belongs to interval $ [1,4]\; . $
2) At most three roots are in interval $ (1,4)\; . $

[Руст]

Решается аналогично, уже предложенной задаче. Пусть действительные корни пронумерованы по росту: $r_1\le r_2 \le r_3 \le r_4 \le r_5$. Выражаем первый и последние корни через средние (аналогично):
$r_5=\frac 12 (-c+\sqrt{40-2r_2^2-2r_3^2-2r_4^2-c^2}),c=r_2+r_3+r_4,$
$r_1=\frac 12 (-c-\sqrt{40-2r_2^2-2r_3^2-2r_4^2-c^2})$. Видно, что не более одного из этих чисел больше 4. В последнем случае получаем r(5)<4, что противоречит нумерации. Если все средние числа по абсолютной величине меньше 1, то подкоренное выражение больше 5. В этом случае ясно, что одно из чисел находится в этом интервале. Это верно и в случае с<-3. Поэтому, это доказывает первую часть. Вторая часть получается ещё проще, так как если в этом интервале не менее трёх корней, то получаем, что три средние должны быть в этом интервале. При этом из указанных формул получаем, что крайние не принадлежат интервалу (1,4).