Асимптоты

[KPEHgEJIb]

$y=x\ln{(e+\frac{1}{x})}$

С вертикальной всё понятно $x=-\frac{1}{e}$
Считаю наклоную: ${\lim}\limits_{x \to \infty}{\frac{x\ln{(e+\frac{1}{x})}}{x}}=1=k$

А вот предел ${\lim}\limits_{x \to \infty}(x\ln{(e+\frac{1}{x}})-x)$ у меня выходит как $\infty$. А это не так.

[Алексей К.]

Для начала определитесь со скобками:

KPEHgEJIb писал(а):

$y=x\ln{e+\frac{1}{x}}$
Считаю наклоную: ${\lim}\limits_{x \to \infty}{\frac{x\ln{(e+\frac{1}{x})}}{x}}$

(добавлено попозже)
Понятно, речь об $y=x\ln\left(\mathrm e}+\frac 1 x\right)$.

[Brukvalub]

$x\ln (e + \frac{1}{x}) - x = x + x\ln (1 + \frac{1}{{ex}}) - x = x(\frac{1}{{ex}} + o(\frac{1}{x})) \to \frac{1}{e}$

[KPEHgEJIb]

Алексей К., Исправил.

Brukvalub писал(а):

$x\ln (e + \frac{1}{x}) - x = x + x\ln (1 + \frac{1}{{ex}}) - x = x(\frac{1}{{ex}} + o(\frac{1}{x})) \to \frac{1}{e}$

Brukvalub, как это так получилось?

$x\ln (e + \frac{1}{x}) - x = x + x\ln (1 + \frac{1}{{ex}}) - x$
Если Вы прибавили $x$, следовательно для того чтобы роавенство сохранилось надо что-то сделать с $x\ln (1 + \frac{1}{{ex}})$ чтобы компенсировать добавление $x$. (Я правильно рассуждаю?) Как я понял аргумент натурального логарифма умножен на $\frac{1}{e}$. Но что это даёт?

[AD]

Заметьте, что $\ln e=1$ и логарифм произведения равен сумме логарифмов.

[Brukvalub]

$\ln (e + \frac{1}{x}) = \ln (e(1 + \frac{1}{{ex}})) = \ln e + \ln (1 + \frac{1}{{ex}}) = 1 + \ln (1 + \frac{1}{{ex}})$

[KPEHgEJIb]

AD, Brukvalub

Огромное спасибо, разобрался