Вполне упорядоченнные множества. Норма.

[Amigo]

1.На всяком ли вполне упорядоченном множестве можно ввести норму? Если "да" то, как это доказать?
2.По теореме Цермелло следует, что всякое множество можно вполне упорядочить. В частности можно упорядочить множество мощности большей чем континуум. Норма - есть
функционал действующий из M в R ( или не обязательно в R?). По этому представляется, что для множеств такой мощности, норму задать нельзя, поскольку будут элементы которым нечего не соответствует. И тем не менее, всё же не ясно: достаточно ли введения нормы на множестве мощность которого не больше континуума того, что это множество можно вполне упорядочить?

[Someone]

А что такое норма на вполне упорядоченном множестве?

[Amigo]

Someone писал(а):

А что такое норма на вполне упорядоченном множестве?

Ах да, забыл задать ещё один вопрос: всякое ли вполне упорядоченное множество может быть наделено структурой векторного пространства?Причём так, что операция сложения элементов множества из M связанна с определённым на М порядком Q? То есть: $+: M*M->M$ и если $xQy$, то в M существует элемент d такой, что $y=x+d$ ?
Может ли у нас встретится такая ситуация, что мы определили на M операцию сложения,
относительно которой наше множество M является коммутативной группой по сложению, но
введённый порядок Q определённый на M по правилу: $xQy$ тогда и только тогда, когда существует d из M,d>0 и $y=x+d$ - не является полным?

[Профессор Снэйп]

Amigo писал(а):

Ах да, забыл задать ещё один вопрос: всякое ли вполне упорядоченное множество может быть наделено структурой векторного пространства?

Нет, не всякое. К примеру, существует вполне упорядоченное множество из шести элементов, однако никакое векторное пространство ни над каким полем не может состоять из $p \cdot q$ элементов, где $p$ и $q$ --- различные простые числа.

Amigo, прекращайте уже свои глупости!

[Amigo]

Профессор Снэйп писал(а):

Amigo писал(а):

Ах да, забыл задать ещё один вопрос: всякое ли вполне упорядоченное множество может быть наделено структурой векторного пространства?

Нет, не всякое. К примеру, существует вполне упорядоченное множество из шести элементов, однако никакое векторное пространство ни над каким полем не может состоять из $p \cdot q$ элементов, где $p$ и $q$ --- различные простые числа.

А из $2p$ может?

Профессор Снэйп писал(а):

Amigo, прекращайте уже свои глупости!

Какие глупости? Есть некоторые вопросы которые непонятны. Я пытаюсь в них вникнуть, что мне нельзя спрашивать? А если я с самого начала буду всё знать, так на кой шут мне нужен форум тогда?
Моя задача такова: мне нужно каким-то образом присвоить каждому подмножеству произвольного множества различные числа от нуля до бесконечности. Причём правило, согласно которому это реализуется должно удовлетворять условиям:
1. Если подмножество содержит один или два или три или n элементов, то такому подмножеству присваивается нулевое значение. Ноль присваивается даже подмножеству судержащему счётное всюду плотное множество элементов.
2. Цель всего этого разговора о полном линейном порядке была вызванна тем, что мне нужно присваивать некотором множествам числа отличные от нуля. Я бы хотел, чтобы у меня
таким свойством обладали только те множества, которые устроенны наподобие интервалов в R. То есть мне нужно, чтобы какими-то отличными от нуля значениями обладали только интервалы а все остальные нулю. Но как мне сказать для произвольного множества, что такое "интервал" в нём ? Тем более, что речь идёт не о числовых множествах. Поэтому, я надеялся перенести порядковую структуру с R на произвольное множество. Точнее: я хотел бы построить изоморфизм между R и исходным множеством. Я не знаю, всегда ли это возможно, но знаю, что согласно теореме Цермелло, на произвольном множестве можно ввести полный линейный порядок. Введя такой порядок на этом множестве и построив изоморфизм между R и исходным множеством я надеялся определить понятие интервала в нём. И уже тогда преписывать таким интервалам определённые числа, согласно условия 1 и 3.
3. Для исходного множества введена одна операция "+". Относительно неё множество должно быть коммутативным монойдом. Причём она должны быть связанна с определённым на нашем множестве порядком Q, соотношением: если x+y=z то имеет место xQz и yQz.
Само же правило присваивающее элементам двух множеств определённые числа таково:
F(x+y)<=f(x)+f(y) для любых множеств X и Y.
Вот мне и нужно узнать: для всякого ли бесконечного множества, можно проделать такую вещь. То есть выделить в нём интервалы и ввести для них функцию удовлетворяющую учсловиям 1 и 3?

[AD]

Amigo в сообщении #161410 писал(а):

А из $2p$ может?

Тогда и только тогда, когда $p=2$.

Добавлено спустя 20 секунд:

Ну или 1, но оно не простое.

[Amigo]

AD писал(а):

Amigo в сообщении #161410 писал(а):

А из $2p$ может?

Тогда и только тогда, когда $p=2$.

Добавлено спустя 20 секунд:

Ну или 1, но оно не простое.

Не могли бы Вы хотя бы намекнуть откуда это следует?

[Someone]

Amigo в сообщении #161410 писал(а):

Но как мне сказать для произвольного множества, что такое "интервал" в нём ?

Задать отношение линейного порядка.

Amigo в сообщении #161410 писал(а):

я надеялся перенести порядковую структуру с R на произвольное множество. Точнее: я хотел бы построить изоморфизм между R и исходным множеством.

Если множество Ваше равномощно $\mathbb R$, то просто нужно взаимно однозначное соответствие, и с его помощью отношение порядка можно перенести с множества действительных чисел на Ваше множество.

Но это всё очень неконкретно.

Amigo в сообщении #161410 писал(а):

Я не знаю, всегда ли это возможно, но знаю, что согласно теореме Цермелло, на произвольном множестве можно ввести полный линейный порядок.

Вам всё равно, какой будет порядок?

Amigo в сообщении #161410 писал(а):

Для исходного множества введена одна операция "+". Относительно неё множество должно быть коммутативным монойдом. Причём она должны быть связанна с определённым на нашем множестве порядком Q, соотношением: если x+y=z то имеет место xQz и yQz.
Само же правило присваивающее элементам двух множеств определённые числа таково:
F(x+y)<=f(x)+f(y) для любых множеств X и Y.

Операция "$+$" задана на элементах Вашего множества или на его подмножествах? Если на элементах, то тогда как определяется $x+y$, когда $x$ и $y$ - подмножества?

[Профессор Снэйп]

Amigo, Вы, похоже, путаете полный линейный порядок и порядок на вполне упорядоченном множестве. Это совершенно разные вещи.

Полный линейный порядок --- это когда любое ограниченное множество имеет супремум и инфимум. Вполне упорядоченное --- это когда любое непустое подмножество имеет наименьший элемент. Это отнюдь не одно и то же. Например, стандартный порядок на $\mathbb{R}$ --- полный, однако $\mathbb{R}$ со стандартным порядком не является вполне упорядоченным.

Если Вы хотите иметь дело с какими-то интервалами из $\mathbb{R}$, забудьте теорему Цермело, она совсем из другой оперы!

А ещё лучше --- бросьте всё это дело. Всё равно ни во что не вникните, раз за столь большое время такие простые вещи различать не научились.