Теория меры

[yvanko]

Эта задача была у нас на коллоквиуме, но в нее вкралась ошибка и поэтому решить ее оказалось не так просто. решил опубликовать в олимпиадных, потому что она мне кажется нетривиальной.

Существует ли такая мера $\lambda$ на всех подмножествах [0,1] что мера каждой точки ноль, а мера всего отрезка - единица?

[Профессор Снэйп]

Пусть

$$ \mathcal{F} = \{ X \subseteq [0,1] : |[0,1] \setminus X| \leqslant \aleph_0 \} $$

Тогда $\mathcal{F}$ --- фильтр на $[0,1]$. Расширим его до ультрафильтра $\mathcal{U} \supseteq \mathcal{F}$. Положим $\mu(X) = 1$ для всех $X \in \mathcal{U}$ и $\mu(X) = 0$ для всех $X \not\in \mathcal{U}$. Определённая таким образом $\mu$ есть конечно-аддитивная мера.

В каком случае $\mu$ окажется счётно-аддитивной? Надо будет с утра подумать, сейчас на ночь глядя глаза слипаются и все мысли из головы вон

[ewert]

По слухам -- существует, если не требовать трансляционной симметрии.

[AGu]

Известно, что на ${\mathcal P}({\mathbb R})$ нет безатомной $\{0,1\}$-значной счетно аддитивной меры (см., например, [1], гл. IX, $\S$3, теорема 5, стр. 318). Более того, такая мера может существовать только на множествах гигантской мощности, существование которых под большим вопросом и отсутствие которых, вроде бы, совместно с ZFC. (Когда-то я пытался вникнуть в этот круг вопросов, но сейчас уже забыл детали.)

Что же касается существования безатомной $\mathbb R$-значной счетно аддитивной меры на ${\mathcal P}({\mathbb R})$, то в предположении гипотезы континуума ответ положительный (см., например, [2], предложение 5.7, стр. 50, без доказательства), а в общем случае этот вопрос, похоже, все еще открыт.

[1] К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
[2] Дж. Окстоби. Мера и категория. М.: Мир, 1974.

P.S. Виноват, первоначально я забыл упомянуть безатомность рассматриваемых мер.

[yvanko]

AGu, я посмотрел в той книжке, не совсем понял, Предложение - это доказанное утверждение или гипотеза?

Я так понял что гипотеза, т.к. далее говорится : "если утверждение 5.7 справедливо..."

Так что вопрос еще открыт.

[--mS--]

AGu писал(а):

Известно, что на ${\mathcal P}({\mathbb R})$ нет $\{0,1\}$-значной счетно аддитивной меры (см., например, [1], гл. IX, $\S$3, теорема 5, стр. 318).

Как это?
$\textrm I(7\in B)=\begin{cases}1, & 7\in B,\cr 0 & \text{иначе,}\end{cases}$
где $B\in {\mathcal P}({\mathbb R})$, не годится в качестве $\{0, \,1\}$-значной сигма-аддитивной меры на множестве всех подмножеств прямой?

[AGu]

yvanko писал(а):

Так что вопрос еще открыт.

Как я уже говорил, то предложение справедливо в предположении гипотезы континуума. В ZFC вопрос, по-видимому, открыт.

--mS-- писал(а):

Как это?

Я исправил свой пост. (Была забыта безатомность.) Спасибо за замечание.