В книге А.Я. Хинчина "Цепные дроби" изложены некоторые результаты метрической теории цепных дробей. Однако мне не удалось найти ответ на некоторые вопросы.
В частности, хотелось бы знать более менее точную оценку роста выражения
![\[
\sum\limits_{i = 1}^n {a_i (x)}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/a/c4a4c0d3e12fd4030d54c82065c5df8182.png "\[
\sum\limits_{i = 1}^n {a_i (x)}
\]")
,
где
![\[
{a_m (x)}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/4/f34df0649b1c67c6b35ef04e94a64de582.png "\[
{a_m (x)}
\]")
-
![\[
m
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/d/23d36287166b7bb1d4b8b464a969069082.png "\[
m
\]")
-ая цифра в редставлении числа
![\[
x \in (0;1)\backslash Q
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/a/efa47eba6d588e9cd6f36cbd7287317682.png "\[
x \in (0;1)\backslash Q
\]")
цепной дробью, для почти всех
![\[
x
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/533d3ab8c1260d85a6ed3caa276a19a582.png "\[
x
\]")
, а так же оценку роста выражений
![\[
\sum\limits_{i = 1}^n {f(a_i )}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/f/2cf68b6d7c8aab50cc711b2d206833ac82.png "\[
\sum\limits_{i = 1}^n {f(a_i )}
\]")
,
где
![\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x \Leftrightarrow x \in M \\
0 \Leftrightarrow x\overline \in M \\
\end{array} \right.
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e33563a7e5b416bb1ed0e1101a22b1dc82.png "\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x \Leftrightarrow x \in M \\
0 \Leftrightarrow x\overline \in M \\
\end{array} \right.
\]")
,
![\[
M \subset N
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/6/b26fad3786e1708061ae1ad656280c1682.png "\[
M \subset N
\]")
- некоторое подмножество натуральных чисел (например, множество всех четных натуральных чисел).
Так же буду очень благодарен за любую другую информацию о метрической теории цепных дробей.
22.11.2008, 01:25 
