Ускорение точки

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить следующую задачу.
Доказать, что если ускорение точки имеет постоянное направление, то оно равно

\[ w = \alpha v^3 /\rho \]

, где

\[ \alpha \]

- постоянная,

\[ v \]

- скорость точки, а

\[ \rho \]

- радиус кривизны ее траектории.

[ShMaxG]

Мне удалось пока получить следующее выражение для ускорения в рассматриваемой точке:

\[ w = C\frac{{v^2 /\rho }} {{\left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow e } \right)}} \]

, где С - константа,

\[ \overrightarrow e = \frac{{\dot v_0 \overrightarrow \tau _0 + \frac{{v_0^2 }} {{\rho _0 }}\overrightarrow n _0 }} {{\sqrt {\dot v_0^2 + \frac{{v_0^4 }} {{\rho _0^2 }}} }} \]

- орт - направление вектора ускорения, n - вектор нормали в рассматриваемой точке.

[Парджеттер]

ShMaxG писал(а):

Помогите пожалуйста решить следующую задачу.
Доказать, что если ускорение точки имеет постоянное направление, то оно равно

\[ w = \alpha v^3 /\rho \]

, где

\[ \alpha \]

- постоянная,

\[ v \]

- скорость точки, а

\[ \rho \]

- радиус кривизны ее траектории.

Что-то я не пойму.
А если точка движется по прямой линии, то $\rho= \infty$ и $w=0$?

[ShMaxG]

Парджеттер
Нет, тогда

\[ \alpha = \infty \]

, причем так, что ускорение конечно.

[Парджеттер]

ShMaxG писал(а):

Парджеттер
Нет, тогда

\[ \alpha = \infty \]

, причем так, что ускорение конечно.

Гм... интересный подход. Т.е. $\alpha$ это некий подгоночный коэффициент?

[ShMaxG]

Я думаю, что

\[ \alpha \]

- константа, но лишь для фиксированной траектории. Вот для прямой - это бесконечность.

[Шимпанзе]

ShMaxG писал(а):

Мне удалось пока получить следующее выражение для ускорения в рассматриваемой точке:

\[ w = C\frac{{v^2 /\rho }} {{\left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow e } \right)}} \]

, где С - константа,

\[ \overrightarrow e = \frac{{\dot v_0 \overrightarrow \tau _0 + \frac{{v_0^2 }} {{\rho _0 }}\overrightarrow n _0 }} {{\sqrt {\dot v_0^2 + \frac{{v_0^4 }} {{\rho _0^2 }}} }} \]

- орт - направление вектора ускорения, n - вектор нормали в рассматриваемой точке.

Что Вам мешает взять производную по времени единичного вектора ускорения и приравнять её к нулю? Там останется только числитель...

[peregoudov]

Все много проще, господа. Если полное ускорение направлено вдоль оси x, то компонента $v_y$ остается постоянной. С другой стороны, нормальное ускорение равно $a_n=w\sin\phi=wv_y/v$, $\phi$ --- угол между ускорением (осью x) и скоростью. Остается приравнять $a_n=v^2\!/\rho$.

[ShMaxG]

peregoudov
Гениальнейшее решение! Большое спасибо!

[[code]]

Eще вопрос: Почему Vy остается постоянной?

[ShMaxG]

peregoudov в сообщении #161079 писал(а):

Если полное ускорение направлено вдоль оси x, то компонента $v_y$ остается постоянной.

Повторять фразу до полного просветления