A=matriz 5 x 5 , det(A)=?

[sasa]

Let $A$ be a symmetric $5\times 5 $ real matrix such that $ P(x): = \det(x I - A)= x^5- x^4-0.5x^3+a_3x^2+ a_4x +a_5 $
has the roots (eigenvalues) $ r_1\le r_2\le r_3\le r_4\le r_5 $ . Assuming $ \; r_5-r_1 \ge \sqrt{3.6}\; ,\; $ find $\det{(A)}\; $ .

[незваный гость]

It is easy to see that $\det(A) = $ ${(-1)}^5 \det(0 I - A) =$ $ -P(0) = $ $-a_5$. Therefore, you can forget about the matrix and find for which $a_5$ the polynomial $P(x)$ has five real roots with big enough difference between smallest and biggest.

The information about matrix is unnecessary, because the diagonal matrix of eigenvalues is an obvious example of the satisfying matrix.

[Руст]

Здесь конечно детерминант не при чём. Задача на действительные числа
$r_1\le r_2 \le r_3 \le r_4 \le r_5$ с условиями:
$r_1+r_5=1-r_2-r_3-r_4, r_1^2+r_5^2=2-r_2^2-r_3^2-r_4^2, r_5-r_1 \ge \sqrt {3.6}, r_1r_2r_3r_4r_5=?$. Отсюда получается
$(r_5-r_1)^2=4-2(r_2^2+r_3^2+r_4^2)-(1-r_2-r_3-r_4)^2 \ge 3.6 $
Легко проверяется, что последнее неравенство возможно только при $r_2=r_3=r_4=1/5$. Отсюда получаем $r_1r_2_r_3r_4r_5=(-1.6)*2/125=-16/625$.

[sasa]

Руст писал(а):

... Отсюда получаем $r_1r_2_r_3r_4r_5=(-1.6)*2/125=-16/625$. ...

...................... ? ...........

[Руст]

Когда $r_2=r_3=r_4=1/5$ получаем $r_1=-2,r_5=1.6$, что позволяет вычислить произведение.

[maxal]

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=416513

[sasa]

maxal писал(а):

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=416513

Thanks, it's OK ! Alex. L:= (flip2004, sasa)