ряд сходится, а ряд из кубов расходится

[TOTAL]

GAA писал(а):

вздымщик Цыпа писал(а):

Можно проще. Если $a_n = \sqrt[3]{\frac1n}$, то ряд $b_n$, такой, что $b_{3k} = a_k$, $b_{3k-1} = b_{3k-2} = -\frac12 a_k$ как раз таким и будет.

И исходный ряд, и ряд из кубов — сходятся по признаку Дирихле.

Покажите как Вы в куб возвели.

[ewert]

Ряд из кубов расходится. Тут пафос в том, что до возведения в куб сумма каждой тройки дополнительных множителей равна нулю, а после возведения -- уже ненулевая.

[GAA]

TOTAL писал(а):

GAA писал(а):

вздымщик Цыпа писал(а):

Можно проще. Если $a_n = \sqrt[3]{\frac1n}$, то ряд $b_n$, такой, что $b_{3k} = a_k$, $b_{3k-1} = b_{3k-2} = -\frac12 a_k$ как раз таким и будет.

И исходный ряд, и ряд из кубов — сходятся по признаку Дирихле.

Покажите как Вы в куб возвели.

Пока был на проф. собрании сообразил, что и 1/2 в куб забыл возвести, да и ряд не совсем указанный рассматривал. Именно, я рассматривал $\sum\limits_1^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{2}{3}\pi (n-1)\right)}{\sqrt[3]n}}$, т.е. $\sum\limits_1^{\infty} a_n b_n$, где $a_n = 1, -1/2, -1/2, 1, -1/2, -1/2, \ldots$, $b_n = \sqrt[3]{1/n}$. Исходный ряд сходится, ряд из кубов — нет.
Приношу свои искренние извинения.

Добавлено спустя 9 минут 25 секунд:

Я бы сказал «пафос в том», чтобы до возведения в степень последовательность сумм $\sum a_n$ была ограничена, а после возведения — нет.

Добавлено спустя 14 минут 54 секунды:

Однако в примере вздымщик Цыпа, сходимость исходного ряда и расходимость ряда из кубов очевидна. Спасибо, вздымщик Цыпа.

Исправлена не существенная опечатка в выражении ряда

[ewert]

GAA писал(а):

TOTAL писал(а):

Я бы сказал «пафос в том», чтобы до возведения в степень последовательность сумм $\sum a_n$ была ограничена, а после возведения — нет.

с учётом периодичности по индексу ограниченность сумм в точности равносильна тому, что сумма каждой тройки равна нулю

[antbez]

antbez писал(а):

А такой ряд подойдёт $\frac {1}{1^ \frac {1}{3}}-\frac {1}{2^ \frac {1}{3}}-\frac {1}{3^ \frac {1}{3}}+\frac {1}{4^ \frac {1}{3}}-...$?

Всё-таки до конца не разобрался... Сходится ли он?

[GAA]

Группируя по три слагаемых, получим ряд с отрицательными членами. Общий член этого ряда имеет вид $a_{k} = - 1/\sqrt[3]{3k} + o\left(1/\sqrt[3]{3k}\right)$, $k = 1,2,3, \ldots$. Ряд c таким общим членом расходится.

Добавлено спустя 4 минуты 11 секунд:

Поверьте! Писал на скорую руку.

[antbez]

Ясно! А если бы члены ряда были бы теми же по модулю, но знаки бы чередовались так: ++--++--, можно было бы разбить на два ряда лоренцева типа, каждый из которых бы сходился?

[GAA]

Что-то непонятное Вы пишите. Как можно разбить на два ряда?

[antbez]

На два знакочередующихся ряда + - + - и + - + -

[GAA]

antbez писал(а):

На два знакочередующихся ряда + - + - и + - + -

Переместительное свойство справедливо для абсолютно сходящихся рядов! Для случая неабсолютно сходящихся рядов см. теорему Римана.

[ewert]

не аргумент: теорема Римана существенна только для глубоких перестановок, а вовсе не для парных

[antbez]

Цитата:

Для случая неабсолютно сходящихся рядов см. теорему Римана.

Да, да, я знаю эту теорему. Просто хочется сначала установить сходимость... Понятно, что если она и будет, то- только условная!

[GAA]

Если Вы говорите о ряде $1/1+1/2-1/3-1/4+1/5+1/6-1/7-1/8 \ldots$, то, сгруппировав по четыре, получим ряд с положительными элементами. Он сходится.
Вообще говоря, из сходимости последнего ряда автоматически не следует сходимость исходного. Надо еще кое-что приговорить. Нo ewert в другой теме это уже указал, поэтому я его и не повторял. В результате исходный ряд сходится.

[antbez]

GAA писал(а):

Если Вы говорите о ряде $1/1+1/2-1/3-1/4+1/5+1/6-1/7-1/8 \ldots$, то, сгруппировав по четыре, получим ряд с положительными элементами. Он сходится.

GAA! Извините за простые вопросы! Как Вы ходите сгруппировать: $\frac {1}{1}+\frac {1}{2}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6}$ и аналогично для отрицательных членов ряда? Как правильнее определить сходимость? Можно ли рассмотреть признак Лейбница (его некоторый аналог), поскольку это- симметричное чередование?

[GAA]

1. Я хочу группировать по четыре: $(1/1+1/2 - 1/3 - 1/4) + (1/5 + 1/6 - 1/7 - 1/8) + \ldots$.
2. Используя, то что ряд из сгруппированных по четыре слагаемых сходится, попытаться доказать, что последовательность частичных сумм исходного рядя имеет предел.
3. Об обобщении признака Лейбница я не думал. Ранее не встречал, но и рядами я никогда не занимался.