Помогите с вычислением предела функции

[Everest]

Пожалуйста, помогите найти предел функции $lim ({\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}})^{\frac{1}{x}}$ при x стремящемся к 0.
Решил очень много заданий, на этом встрял, не получается ничего, задача на тему замечательные пределы. Ответ у примера такой: ${a}^{\frac{a}{a+b}}{b}^{\frac{b}{a+b}}$. Никак не получается такой ответ. Очень прошу подскажите как его решить

[Brukvalub]

$lim ({\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}})^{\frac{1}{x}}$=$e^c $, где $c = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{{a^{x + 1} + b^{x + 1} }}{{a + b}} - 1)\frac{1}{x}$
Далее - очевидно (да и это - тоже очевидно...)

[Everest]

Brukvalub , спасибо сейчас разберусь.
Кстати можно еще вопросик. Могу ли я вот так поступать:
$lim{(1+\frac{1}{n^{2}})}^{n}=lim{(1+\frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}{\frac{1}{n}}}=lim {e}^{\frac{1}{n}}=1$ при x стремящемся к бесконечности. Это задача на предел последовательности

[Brukvalub]

Попробуйте обосновать свои действия, опираясь на свойства пределов. Если Вам это удастся, то - можно, а иначе - нет. Мне - не удалось.

[Everest]

А как здесь следует поступить?

[Brukvalub]

Перейти к логарифму членов последовательности и воспользоваться замечательным пределом.

[Everest]

Спасибо большое с этими разобрался а можно последний вопросик?
Можете дать совет как следует вычислять предел следующей функции:
$lim (\frac{n}{1-x^{n}}-\frac{k}{1-x^{k}})$ при x стремящемся к 1.

[Brukvalub]

Я бы для начала заменил х=1+у, привел бы дроби к общему знаменателю и повозился с биномом Ньютона.

[Everest]

Brukvalub, большое спасибо за советы

[Хорхе]

Everest писал(а):

Brukvalub , спасибо сейчас разберусь.
Кстати можно еще вопросик. Могу ли я вот так поступать:
$lim{(1+\frac{1}{n^{2}})}^{n}=lim{(1+\frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}{\frac{1}{n}}}=lim {e}^{\frac{1}{n}}=1$ при x стремящемся к бесконечности. Это задача на предел последовательности

Рассуждение правильное!
Это потому, что функция $f(x,y) = x^y$ непрерывна на $(0,\infty)\times\mathbb{R}$.
У вас тут получается штука вида $a_n = x_n^{y_n}$, $x_n\to e$, $y_n\to 0$, то есть $a_n\to 1$.

[Everest]

как я рад . Просто огромное спасибо . А это можно в какой-нибудь книжке прочитать, всмысле текст вашего последнего сообщения?

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

Просто даже преподаватель не смог объснить как его решать, я предложил такой способ, но она сказала так нельзя и не смогла объяснить почему и сама не решила его Мне бы где нибудь почитать про это

[Brukvalub]

Хорхе в сообщении #160200 писал(а):

Рассуждение правильное!

Ответ - правильный, а рассуждение неправильное! Нельзя без обоснования заменять основание степени предельным значением! Раз Вы, Хорхе, предполагаете правильность такой замены, то и обосновывать ее нужно куда как аккуратнее. Вот и попробуйте это сделать, поскольку Ваше рассуждение

Хорхе в сообщении #160200 писал(а):

Это потому, что функция $f(x,y) = x^y$ непрерывна на $(0,\infty)\times\mathbb{R}$.
У вас тут получается штука вида $a_n = x_n^{y_n}$, $x_n\to e$, $y_n\to 0$, то есть $a_n\to 1$.

такую замену основания степени его пределом без одновременной замены показателя на его предел не обосновывает (ведь основание и степень есть функции одной и той же переменной).

[Хорхе]

Brukvalub писал(а):

такую замену основания степени его пределом без одновременной замены показателя на его предел не обосновывает (ведь основание и степень есть функции одной и той же переменной).

Извините, конечно, пожалуйста, за резкость, но то, что Вы пишете --- бред сивой кобылы. Пусть основание и степень --- функции хоть двадцати разных переменных из непрерывности (под непрерывностью я, конечно же всегда понимаю совместную, а не покоординатную) функции будет следовать, что $\lim_{a\to a_0} x(a)^{y(a)} = (\lim_{a\to a_0}x(a))^{\lim_{a\to a_0}y(a)}$, будь $a$ --- хоть стомерным параметром, если, конечно, $\lim_{a\to a_0}x(a)> 0$.

Ну а для непрерывной функции повторный предел равен одновременному, конечно же, если Вы об этом (если они существуют).

[Brukvalub]

Хорхе в сообщении #160218 писал(а):

Ну а для непрерывной функции повторный предел равен одновременному, конечно же, если Вы об этом (если они существуют).

Об этом, именно об этом. а еще о том, что вы БОЛЬШУЮ телегу поперёд лошади (той самой сивой кобылы) поставили, и очень этим горды. А реально учить студентов считать пределы так как Вы здесь предложили, нельзя, профанацией все это попахивает. Именно об этом я и говорю, а не о формальных моментах.

[Хорхе]

Brukvalub писал(а):

Именно об этом я и говорю, а не о формальных моментах.

Ну да, "не обосновывает" --- это как раз к формальной стороне дела не имеет никакого отношения

Но я не о том. Я же не учу этого несчастного студента. (Форум называется "помогите решить/разобраться", а не "обучите".) Но дело даже не в этом. Формально рассуждение его правильно, я об этом и сказал. Я неправильно сделал? Я должен был сказать "да, это правильно, но Ваших знаний пока недостаточно для четкого обоснования этого вывода, поэтому решайте-ка по-другому". По-моему, людей, неуверенных в себе, как наш студент, надо поощрять, когда они что-то делают правильно. Или я не прав? Или это "профанация"?