Вращение стержня

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста разобраться с задачей:

Однородный стержень длины

\[ a \]

может свободно вращаться в пространстве вокруг своего шарнирно закрепленного конца. В начальный момент его приводят в горизонтальное положение и сообщаются угловую скорость

\[ \omega _0 \]

относительно вертикальной оси. Найти наименьшее значение

\[ \phi _{\min } \]

угла

\[ \phi \]

между стержнем и вертикалью во время движения.

Мои соображения: рассматривать движение стержня относительно неинерциальной системы отсчета, в которой стержень всегда находится в плоскости

\[ \left( {y,z} \right) \]

, где ось

\[ z \]

- вертикальная ось. Закон изменения кинетической энергии относительно неинерциальной системы:

\[ dT = \delta A + \delta A^e \]

. Но я не знаю, как находить работу переносных сил инерции.

[Андрей123]

В данном случае сила инерции будет только центробежная сила. Но можно составить уравнение сохранения энергии и в инерциальной системе отсчета.

[ShMaxG]

Хорошо, в инерциальной системе отсчета закон сохранения энергии:

\[ \frac{1} {2}m\left( {\omega _0 \frac{a} {2}} \right)^2 + \frac{1} {2}\frac{1} {{12}}ma^2 \omega _0^2 = \frac{1} {2}m\left( {\omega _0 \frac{a} {2}\sin \phi } \right)^2 + \frac{1} {2}I\omega _0 ^2 - mg\frac{a} {2}\cos \phi \]

. Причем

\[ I = \frac{1} {{12}}ma^2 \cos ^2 \phi \]

?

Добавлено спустя 34 минуты 6 секунд:

С ответом только не сходится почему-то...

Добавлено спустя 22 минуты 50 секунд:

Кстати, почему, если

\[ g \to \infty \]

, то согласно уравнению

\[ \cos \phi \to 0 \]

. Очень странно, пока ничего не придумал.

[Zai]

Угловая скорость в новом положении равновесия не равна $\omega_0.

[ShMaxG]

Ага. Верно ли, что момент импульса относительно вертикальной оси сохраняется и тогда

\[ \omega = \frac{{\omega _0 }} {{\sin ^2 \phi }} \]

?

[Андрей123]

Zai, Вы неправы угловая скорость вокруг вертикальной оси сохраняется.
ShMaxG, у Вас неправильно выписан закон сохранения энергии. Попробуйте выразить координаты каждой точки стержня через полярный угол и угол относительно оси z. Продифференцируйте их и найдите кинетическую энергию интегрированием по стержню.
У меня получилось вот так:

$$\frac{a}{3}(\omega_0^2 \sin^2\psi+\dot\psi^2)-g\cos\psi=\frac{a}{3}\omega_0^2$$

[Александр Т.]

ShMaxG писал(а):

Помогите пожалуйста разобраться с задачей:

Однородный стержень длины

\[ a \]

может свободно вращаться в пространстве вокруг своего шарнирно закрепленного конца. В начальный момент его приводят в горизонтальное положение и сообщаются угловую скорость

\[ \omega _0 \]

относительно вертикальной оси. Найти наименьшее значение

\[ \phi _{\min } \]

угла

\[ \phi \]

между стержнем и вертикалью во время движения.

Мои соображения: рассматривать движение стержня относительно неинерциальной системы отсчета, в которой стержень всегда находится в плоскости

\[ \left( {y,z} \right) \]

, где ось

\[ z \]

- вертикальная ось. Закон изменения кинетической энергии относительно неинерциальной системы:

\[ dT = \delta A + \delta A^e \]

. Но я не знаю, как находить работу переносных сил инерции.

Поскольку момент силы тяжести направлен горизонтально, сохраняется вертикальная составляющая момента импульса стержня. Отсюда следует, что его угловая скорость - непостоянна (на что указал Zai), т.е. переход в систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью $\omega_0$, никаких упрощений не даст.

Я решал задачу с использованием законов сохранения вертикальной составляющей момента импульса и полной энергии стержня (причем энергию расписывал не для произвольного момента времени, а только для начального и того, в котором угол - минимален, что сильно упростило выкладки). Если нужно, то могу выписать ответ, который у меня получился.

[Андрей123]

Да, прошу прощения. Насчет сохранения угловой скорости был неправ(не учел сразу, что момент инерции относительно вертикальной оси зависит от угла). Поэтому закон сохранения энергии, записанный мною в предыдущем сообщении неверен. Его следует писать в таком виде:

$$\frac{a}{3}(\frac{\omega_0^2}{\sin^2\psi}+\dot\psi^2)-g\cos\psi=\frac{a}{3}\omega_0^2$$

.
В ответе у меня получилось

$$\psi_{min}=\arccos{\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{a^2\omega_0^4}{9g^2}+4}-\frac{a\omega_0^2}{3g})}$$

[ShMaxG]

Андрей123
Ответ верный. А почему бы просто не применить теорему Кенига? Кинетическая энергия стержня, когда он составляет минимальный угол с вертикалью:

\[ T = \frac{1} {2}mv_C^2 + \frac{1} {2}I\omega ^2 ,v_C = \omega \frac{a} {2}\sin \phi ,I = \frac{1} {{12}}ma^2 \sin ^2 \phi \]

Момент импульса относительно вертикальной оси сохраняется, следовательно (когда угол минимальный):

\[ I_0 \omega _0 = I\omega = I_0 \sin ^2 \phi \omega \Rightarrow \omega = \frac{{\omega _0 }} {{\sin ^2 \phi }} \]

Тогда получается как раз такое уравнение, как у Вас.

[Архипов]

Андрей123 писал(а):

$$\frac{a}{3}(\frac{\omega_0^2}{\sin^2\psi}+\dot\psi^2)-g\cos\psi=\frac{a}{3}\omega_0^2$$

.
В ответе у меня получилось

$$\psi_{min}=\arccos{\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{a^2\omega_0^4}{9g^2}+4}-\frac{a\omega_0^2}{3g})}$$

По-моему, в уравнении $\dot\psi^2$ - лишнее, так как равно нулю (уравнение составляется для фиксированных углов $\psi$, когда угловая скорость поворота в шарнире нулевая). И ответов получается два, так как у квадратного уравнения два корня. Причем отрицательный угол как раз и есть минимальный ( $-\psi < \psi $). То есть, при малой начальной угловой скорости, стержень в шарнире "проскочит" через вертикаль в область отрицательных углов.

[Андрей123]

Архипов писал(а):

Андрей123 писал(а):

$$\frac{a}{3}(\frac{\omega_0^2}{\sin^2\psi}+\dot\psi^2)-g\cos\psi=\frac{a}{3}\omega_0^2$$

.
В ответе у меня получилось

$$\psi_{min}=\arccos{\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{a^2\omega_0^4}{9g^2}+4}-\frac{a\omega_0^2}{3g})}$$

По-моему, в уравнении $\dot\psi^2$ - лишнее, так как равно нулю (уравнение составляется для фиксированных углов $\psi$, когда угловая скорость поворота в шарнире нулевая).

Не лишнее, если рассматривать закон сохранения энергии вообще.

Архипов писал(а):

И ответов получается два, так как у квадратного уравнения два корня. Причем отрицательный угол как раз и есть минимальный ( $-\psi < \psi $). То есть, при малой начальной угловой скорости, стержень в шарнире "проскочит" через вертикаль в область отрицательных углов.

Получается отрицательным не угол, а выражение под арккосинусом. Тогда угол получится больше $\pi/2$,чего быть не может. К тому же это выражение может быть по модулю больше 1.

[ShMaxG]

Всем большое спасибо!

[Архипов]

Андрей123 в сообщении #160444 писал(а):

Не лишнее, если рассматривать закон сохранения энергии вообще.

А почему тогда в ответе этот знак $\dot\psi^2$ пропал ? Или Вы решение дифференциального уравнения искали?

[Андрей123]

Архипов писал(а):

Андрей123 в сообщении #160444 писал(а):

Не лишнее, если рассматривать закон сохранения энергии вообще.

А почему тогда в ответе этот знак $\dot\psi^2$ пропал ? Или Вы решение дифференциального уравнения искали?

Потому, что, когда угол минимален, $\dot\psi=0$. И еще немного поправлюсь по поводу второго корня. Его вообще нет, т.к. второй корень квадратного уравнения всегда по модулю больше 1.